Dans le monde des systèmes hamiltoniens d'équations aux dérivées partielles, les notions d'équation intégrable et de solution turbulente occupent des places apparemment irréconciliables. Après avoir tenté de donner une idée accessible de ces deux notions, je discuterai un exemple découvert récemment d'équation obtenue comme forme normale d'un modèle d'onde non linéaire, qui est intégrable au sens de Lax, mais dont les solutions sont génériquement turbulentes.
L'objet de la théorie de Ramsey est l'étude de l'apparition nécessaire de la régularité au sein des structures de grande taille, même lorsque ces dernières sont soumises à des partitions. Par exemple, le théorème de Ramsey affirme que tout graphe infini admet un sous-graphe induit complet (où tous les sommets sont reliés à tous les autres) ou indépendant (où aucun sommet n'est relié à aucun autre). De manière équivalente, pour toute partition finie de l'ensemble des paires de nombres naturels, il existe un ensemble infini de naturels dont les paires sont toutes dans la même partie. Un autre exemple est donné par le théorème de van der Waerden, qui affirme que pour toute partition des entiers naturels en un nombre fini de parties, l'une des parties contient nécessairement des progressions arithmétiques de longueur finie arbitrairement grande (il se peut en revanche qu'aucune des parties ne contienne de progression arithmétique infinie).
Le but de cet exposé sera de présenter dans quelle mesure des résultats de ce type peuvent être obtenus dans des contextes où plus de structure apparaît (espaces vectoriels, espaces métriques, graphes, graphes dirigés, etc), et de montrer comment, à partir des travaux de Kechris, Pestov et Todorcevic de 2005, ces résultats peuvent être utilisés pour démontrer des résultats de dynamique topologique, tels que le théorème suivant, dû à Pestov : Soit G le groupe d'automorphismes des rationnels (vus comme l'unique ordre total dense sans point d'extrémité). Alors, lorsqu'il est équipé de la topologie adéquate, G est extrêmement moyennable, c'est-à-dire que toute action continue de G par homéomorphismes sur un espace compact admet un point fixe.
Nous considérons l'équation de Schrödinger avec une non-linéarité logarithmique, dont le signe est tel qu'il n'existe pas de solution stationnaire (non triviale). Des calculs explicites dans le cas de données gaussiennes font apparaître trois phénomènes nouveaux, dans le régime en temps grand : la dispersion est accrue d'un facteur logarithmique en temps, les normes de Sobolev (d'indice positif) croissent logarithmiquement en temps, et après une remise à l'échelle de la fonction inconnue, le module de la solution converge vers une gaussienne universelle (indépendante de la gaussienne initiale). Ces phénomènes persistent pour des données initiales générales (non nécessairement gaussiennes), quitte à considérer une limite faible pour le troisième point. Parmi les étapes de la preuve, nous présenterons une transformée de Madelung permettant de réduire l'équation à une variante de l'équation d'Euler compressible isotherme, dont le comportement en temps long fait intervenir une équation parabolique liée à un opérateur de Fokker-Planck. Il s'agit d'un travail en commun avec Isabelle Gallagher.
Dans ce travail en collaboration avec Jean-Michel Coron et Frédéric Marbach, nous considérons les équations de Navier-Stokes incompressible dans un domaine borné régulier dans le cas où une condition de glissement avec friction est prescrite sur le bord privé d’une partie non-vide. Cette sous-détermination exprime que l’on contrôle la partie restante du bord. Nous prouvons que pour toute donnée initiale d’énergie cinétique finie, pour tout temps positif, il existe une solution faible à la Leray qui s’annule au temps donné.
Nonlinear waves under ice plates are considered in this presentation. The ice plates floating on water can be modelled under certain conditions by thin elastic plates. Considering the influence of gravity and flexural effects a variety of two-dimensional nonlinear waves are discovered. The steady and unsteady solutions are analysed using weakly-nonlinear models, Hamiltonian formulations and numerical computations. Extensions including stratified fluids, three-dimensional effects will be discussed.
The accurate numerical simulation of large scale flows, together with the detailed modeling of flooding or drying of small-scale regions, is a difficult and a challenging problem. Adaptive mesh method allows, in principle, to solve accurately those scales. However in practice, on one hand, the lack of a priori or efficient a posteriori error estimates, especially for multidimensional hyperbolic problems, make the analysis harder. On the other hand, once a mesh refinement criterion is chosen, the difficult problem is to determine the mesh refinement threshold parameter which is certainly the most important part of the adaptive process. The smaller this parameter is, the higher the number of cells refined is at the expense of the computational cost. In this talk, we present a general procedure to determine automatically a mesh refinement threshold for any given mesh refinement criterion. To this end the decreasing rearrangement (distribution) function of the mesh refinement criterion is introduced to catch relevant scales. The efficiency of the automatic thresholding method is illustrated through the one and two dimensional Saint-Venant system.
Une structure réelle sur une variété projective complexe X est une involution antiholomorphe sur cette variété. La donnée d'une telle structure équivaut à la donnée d'une variété réelle dont la complexification est isomorphe à X (i.e. une forme réelle de X). Le but de cet exposé est de montrer comment l'étude des groupes d'automorphismes des surfaces rationnelles peut être utilisée en vue de donner des éléments de réponse à la question de la finitude du nombre de classes d'équivalence de structures réelles sur ces éclatés, i.e. la finitude du nombre de leurs formes réelles à isomorphisme près. En particulier, nous montrerons qu'une surface rationnelle dont le groupe d'automorphismes ne contient pas un groupe libre non-abélien admet un nombre fini de formes réelles puis nous donnerons au moins un exemple de surface rationnelle ayant à la fois un nombre fini de formes réelles à isomorphisme près et un ``grand'' groupe d'automorphismes.
TBA
Si on se donne un système générique de n équations polynomiales en n variables de degrés d_1,...,d_n, alors le théorème de Bézout implique que ce système a exactement le produit des degrés nombre de solutions dans le tore complexe (C^*)^n. Maintenant si l'on prend des combinaisons linéaires génériques des équations, on obtient un système équivalent où toutes les équations ont le même degré d (le maximum des degrés), et le théorème de Bézout donne alors la quantité d^n qui surestime le nombre de solutions du système si au moins un d_i est plus petit que d. En général, une borne sur le nombre de solutions isolées dans le tore complexe d'un système polynomial est donnée par le volume mixte de polytopes de Newton du système. Ce volume mixte est une fonction croissante de ses arguments. Lors de cet exposé, on donnera plusieurs caractérisations de cette croissance stricte. C'est un travail en commun avec Ivan Soprunov (Université de Cleveland).
Une diffusion de McKean-Vlasov correspond à une particule d'un système de type champ moyen dont la dimension tend vers l'infini. Il s'agit également de l'interprétation probabiliste de l'équation des milieux granulaires. Benachour, Roynette et Vallois ont prouvé la convergence en loi de ce genre de processus. Cattiaux, Guillin et Malrieu ont étendu ce résultat en ajoutant le gradient d'un potentiel convexe. Carrillo, McCann et Villani prouvent un résultat similaire dans un cas non-convexe en supposant que le centre de masse est fixe. En utilisant le dénombrement exact des mesures stationnaires et l'énergie-libre, la convergence en temps long sera prouvée sous des conditions naturelles portant uniquement sur la loi initiale.
On présentera des EDP modélisant l'adaptation d'une population sexuée à un (changement d')environnement. On propose d'étudier les états stationnaires de ces équations afin de quantifier la mal-adaptation de la population. La reproduction sexuée est modélisée par l'opérateur infinitésimal de Fisher, qui est non local, non linéaire, non monotone. Pour ces raisons l'existence d'éléments propres principaux ne peut pas être obtenue par la théorie de Krein-Rutman. Dans une seconde partie on expliquera comment, dans un certain rapport des échelles phénotypiques, la méthodologie de l'approximation WKB peut être adaptée à ces équations pour calculer des indicateurs de maladaptation. L'introduction d'une structure en âge fait apparaître des effets non linéaires (mur de mortalité).
Les séries de Dirichlet fonctions zêta à une ou plusieurs variables sont des objets importants qui apparaissent naturellement dans plusieurs domaines des mathématiques : la théorie des nombres, la géométrie algébrique, la théorie des groupes, la physique mathématique, les systèmes dynamiques, la géométrie fractale, etc. L’étude de ces fonctions est transversale à la subdivision traditionnelle en disciplines mathématiques : algèbre, analyse, topologie, géométrie, combinatoire qui sont toutes nécessaires pour les étudier. Dans cet exposé, nous présenterons un aperçu général de ce sujet et des méthodes utilisées pour étudier plusieurs classes de séries de Dirichlet et fonctions zêtas à plusieurs variables. Nous donnerons en particulier plusieurs résultats les concernant (prolongement méromorphe, localisation des singularités, valeurs spéciales, etc.) Nous donnerons aussi quelques applications (en théorie des nombres, en géométrie arithmétique, en géométrie fractale, etc.) pour justifier l’étude de ces différentes classes.
Monotonicity is a fundamental notion in mathematics and computation. For usual real-valued functions R → R this simply corresponds to the notion that a function is increasing (or decreasing) in its argument, however this can be parametrised by any partially ordered domain and codomain we wish. In computation we deal with programs that compute Boolean functions, {0,1} → {0,1}. Restricting to increasing functions over this structure can be seen as prohibiting the use of negation in a program; for instance monotone Boolean functions are computed by Boolean circuits without NOT gates. The idea of restricting negation scales to other models of computation, and for some important classes of functions the formulation is naturally robust, not depending on the particular model at hand, e.g. for the polynomial-time functions. Monotone computational problems abound in practice, e.g. sorting a string and detecting cliques in graphs, and 'nonuniform' monotone models of computation, such as monotone circuits, have been fundamental objects of study in computational complexity for decades.
In this talk I will propose a project that develops logical characterisations of monotone complexity classes, via a proof theoretic approach. Namely, the project will identify theories of arithmetic whose formally representable functions coincide with certain monotone classes, and also develop fundamental recursion-theoretic programming languages in which to extract the monotone functions themselves. In particular the project focusses on the role of structural proof theory, i.e. the duplication and erasure of formulae, in controlling monotonicity.
A polyomino P is called 2-convex if for every two cells belonging to P, there exists a monotone path included in P with at most two changes of direction. We present some tomographical properties of 2-convex polyominoes from their horizontal and vertical projections and gives an algorithm that reconstructs them from a given couple of projections. We discuss its complexity.
On considère une famille méromorphe d'endomorphismes d'un espace projectif complexe paramétrée par le disque. Cette donnée nous fournit une famille de mesures de probabilité paramétrée par le disque épointé. Nous montrerons comment on peut analyser la convergence de cette suite au dessus de la fibre centrale en utilisant des techniques non-archimédiennes, et en déduire un contrôle de l'explosion de l'exposant de Lyapunov à l'origine.
Balanced words have been studied a lot in the last decades. In particular, Christoffel words that are a special case of finite balanced words. In this talk, I introduce the Balance matrix that studies the balancedness of these words and I define some tools to extend this property by defining a second order of balancedness. I recall some properties about the continued fraction development and the Stern-Brocot tree to prove a recursive formula based on the shape of the path from the root of the Stern-Brocot. Finally, I show that among all infinite paths in the Stern-Brocot tree, the one that converges to φ, the golden ratio, minimizes the growth of the second order balance.
A partir de l'exemple d'une recherche en biomath, nous justifierons l'utilité de l'identification pour un mathématicien appliqué, mais surtout de l'identifiabilité, moins connue. Nous essaierons de montrer que ses questions sont typiques de celles qu'un mathématicien appliqué se pose, et pas seulement en biomaths. Le domaine est à la confluence entre l'automatique, les statistiques et l'informatique fondamentale (ou l'algèbre différentielle). Nous donnerons alors le vocabulaire de base avec quelques exemples. Puis, nous relirons un article dans lequel certaines affirmations seront discutées. On verra l'apport des mathématiques pour vérifier/infirmer certaines affirmations.
On s'intéressera à un modèle naturel de sous-variété algébrique aléatoire de RP^n, obtenue comme lieu d'annulation d'un polynôme P_d aléatoire de degré d. Je présenterai deux résultats qui donnent les asymptotiques de l'espérance et de la variance du volume de cette sous-variété, lorsque d tend vers l'infini. Nous montrerons également que (P_d)^{-1}(0) s'équidistribue dans RP^n asymptotiquement, en un sens à préciser. Plus généralement, ces résultats sont valables pour des sous-variétés aléatoires d'une variété projective réelle. Les asymptotiques ne dépendent alors de la variété ambiante que par sa dimension et son volume.
Recurrence relations have been of interest since ancient times. Perhaps the most famous is the Fibonacci numbers, where each additional term in the sequence is obtained as the sum of the previous two. I will show how we can use a graphical language of string diagrams–a “graphical linear algebra”–to reason about recurrence relations, and as a bonus, obtain efficient implementations. This application comes from a general string diagrammatic theory of signal flow graphs–a model of computation originally studied by Claude Shannon in the 1940s–developed in collaboration with Filippo Bonchi and Fabio Zanasi, and published at CONCUR 2014 and PoPL 2015.