Bounds are obtained for Lp norm of the torsion function vΩ , i.e. the solution of −∆v = 1, v=0 on the boundary of Ω and v ∈ H1(Ω) in terms of the Lebesgue measure of an open set Ω ⊂ Rm and the principal Dirichlet eigenvalue λ1(Ω) of the Dirichlet Laplacian acting in L²(Ω). Joint work with Thomas Kappeler, University of Zürich.
It is well known that the motion of an incompressible fluid can be described in Eulerian variables (as a solution of a PDE, namely the continuity equation), or alternatively in Lagrangian variables (as a flow of an ODE). The classical DiPerna-Lions-Ambrosio theory ensures well-posedness and provides structural properties for solutions of the continuity equation, under suitable regularity assumptions on the velocity field and integrability assumptions on the solution. In my talk I will focus on the ``Lagrangianity'' of solutions, that is, on the property of being transported by an ODE flow, hence addressing the question whether an Eulerian solution is automatically a Lagrangian solution. After a brief summary of the DiPerna-Lions-Ambrosio theory, I will present two examples which are outside of the assumptions of such a theory, and in which nevertheless we can prove the Lagrangianity of solutions. The first one concerns vanishing viscosity solutions of the two-dimensional Euler equations, where we can use suitable duality methods (joint work with Stefano Spirito). The second example involves general continuity equations, and requires the proof of a new Lipschitz extension lemma (joint work with Laura Caravenna).
Dans cet expose je m'interesserai a la resolution du probleme de Stokes stationnaire dans un domaine perfore avec des conditions aux bords de type Dirichlet inhomogene. Je discuterai la possibilite de developper la solution sur cette geometrie complexe comme une somme de solution dans des geometries plus simples (obtenues en considerant les perforations independamment). Je m'interesserai ensuite a l'application de ces formules pour calculer une equation homogeneisee quand le nombre de perforations diverge alors que leurs rayons tendent vers 0. Cet expose s'appuie sur des resultats obtenus en collaboration avec Amina Mecherbet, Ayman Moussa et Franck Sueur.
La théorie du micromagnétisme, qui décrit l'aimantation des matériaux ferromagnétiques à l’échelle mésoscopique a fait l'objet d'études approfondies depuis sa construction dans les années 1940 par W. F. Brown et Landau-Lifshitz. Actuellement, une forte demande de la part d’une large communauté de physiciens et d'ingénieurs concerne l’obtention de modèles encore plus complexes et stochastiques (spatiaux et temporels). L’utilisation de structures aléatoires spatiales est en effet naturelle pour les aimants modernes, obtenus par alliage de plusieurs matériaux ayant des propriétés magnétiques différentes. Nous étudierons l’homogénéisation de ces matériaux, décrits par les équations de Landau-Lifshitz avec des coefficients aléatoires.
Nous présentons ici deux techniques, parfois concordantes, de stabilisation de schémas numériques semi-implicites pour les problèmes paraboliques non-linéaires. Les schémas proposés sont appliqués d'une part, en différences finies, lorsque les opérateurs sont discrétisés à l'aide de schémas compacts et, d'autre part, en éléments finis enutilisant une approche bi-grilles. Nous illustrons notre propos en considérant des modèles de champ de phase (Cahn-Hilliard et Allen -Cahn) et de mécanique des fluides (Navier-Stokes).
The aim of the talk is to provide a concise survey of some results about variational methods for image segmentation and inpainting, in the framework of functions of Special Bounded Variation in the sense of De Giorgi.
Local conservation laws of a system of differential equations are given by one or several expressions of the form divergence(flux vector)=0, holding on solutions of that system. For ordinary differential equations (ODE), conservation laws lead to first integrals and the reduction of order; for partial differential equations (PDE), they are used for analysis of solution behaviour, and provide globally conserved quantities, such as energy, momentum, etc., as well as more exotic ones. Conservation laws also play an important role in the numerical treatment of nonlinear PDE models. In this talk, we will review the general theory, including trivial and equivalent conservation laws, the characteristic form of conservation laws, their relationship with symmetries of DEs, variational systems, Lagrangians, and the first and second Noether's theorems. A systematic general procedure to seek conservation laws will be discussed, applicable to virtually any model; it will be compared to the Noether's theorem approach for variational models. A symbolic implementation of the direct method of conservation law computation in Maple will be discussed. Examples of conservation laws and conserved quantities for classical PDEs and some nonlinear models arising in contemporary work will be presented. Time permitting, we will consider a common framework for different types of conservation laws of PDE systems in three space dimensions, including their global and local formulations in static and moving domains given by volumes, surfaces, and curves.
Je présenterai quelques résultats que j'ai obtenus récemment en collaboration avec José Antonio Carrillo, François Delarue, François James et Nicolas Vauchelet. Ils concernent des équations d'agrégation, qui sont des équations de transport, conservatives, où le champ de transport est obtenu par convolution de la solution elle-même (l'équation étant donc non linéaire) par le gradient d'un potentiel qui peut n'être pas régulier. Ceci a pour conséquence que le champ de vitesse présente des discontinuités en espace. Nous verrons que les problèmes de Cauchy associés à ce type d'équations sont bien posés, en un sens proposé par Poupaud et Rascle, en se basant sur la théorie des EDO de Filippov. Nous verrons ensuite que ces solutions, non régulières (mesures bornées), s'approchent bien (à l'ordre 1/2 en le pas du maillage) par des schémas diffusifs (du genre décentré amont), en distance de Wasserstein.
Les équations de réaction diffusion non locales sont un moyen de décrire certaines populations ayant une stratégie de dispersion à longue distance. Un des enjeux de ce type de modélisation est de mieux comprendre les phénomènes d'invasion pour les espèces adoptant ce type de stratégie. Pour attaquer ce type de problème, une première approche consiste à étudier et caractériser au mieux les phénomènes de propagation pouvant être décrit par ces modèles. Dans cet exposé, je commencerai par présenter différents résultats sur l'existence de front progressif vs solution accélérée que l'on peux observer dans les équations de réaction diffusion non locales monostables. Je poursuivrai par la description de la dynamique interne de ces de solutions.
We prove a priori estimates in Cinfty(R) for non-local operator Lx comparable to R^d fractionnal Laplacian in terms of symbols, α ∈ (0, 2). We require that when Lx is replaced by the classical Rd -Laplacian. Such estimates were only known for α = 2. This is one of the first results on Lp estimates for degenerate non-local operators under Hormander type conditions.
Nous nous intéresserons aux liens qui existent entre deux échelles de modélisation neurobiologique. À un niveau microscopique, l'activité électrique de chaque neurone est représentée par un processus ponctuel. À une plus grande échelle, un système d'EDP structuré en âge décrit la dynamique moyenne de ces activités. Nous montrerons que le modèle macroscopique (système d'EDP) peut se retrouver à partir d'un réseau de $n$ neurones en champ-moyen quand $n$ tend vers $+infty$ via une Loi des grands nombres''. De plus, les fluctuations du réseau de $n$ neurones autour du comportement limite/macroscopique sont caractérisées par unThéorème central limite''. Cette étude finale permet la dérivation d'un système d'EDP stochastique, plus proche de la dynamique microscopique que le système d'EDP classique.
Il s'agit d'un travail conjoint avec Ilaria Lucardesi et Gérard Philippin Dans cet exposé, nous revisitons deux problèmes elliptiques très classiques: le problème de la torsion (ou de St Venant): -Δu = 1 dans Ω avec u=0 sur le bord et la première valeur propre λ(Ω) du Laplacien-Dirichlet. Désignant par M(Ω) le maximum de la fonction torsion u, nous cherchons des bornes, si possible optimales, pour les deux fonctionnelles F(Ω)=∫Ω u dx/(M(Ω) /|Ω|)$ et G(Ω)=M(Ω) λ(Ω).
Depuis Peter Lax et Olga Oleinik (1957) l’espace BV ( functions with Bounded Variations) est le cadre mathématique le plus utilisé pour les lois de conservation. BV a l’avantage de contrôler la dérivée tout en permettant les ondes de chocs avec des traces de part et d’autre du choc. Les espaces de Sobolev n’ont pas ces avantages bien que Lions, Perthame, Tadmor, Tao aient obtenu des effets régularisant (non optimaux) pour les lois scalaires non linéaires dans ce cadre. On présentera des espaces BV généralisés comme les BV fractionnaires pour obtenir des effets régularisant optimaux, des blow-up ou des résultats d’existence pour des lois scalaires et un système hyperbolique issue de la chimie. Travaux en collaboration avec: Christian Bourdarias, Pierre Castelli, Pierre-Emmanuel Jabin, Marguerite Gisclon, Yue-Jun Peng.
In this talk, we study the influence of a Coriolis forcing on water waves. First, we present a local wellposedness result on the Castro-Lannes equations which generalize the so called Zakharov/Craig-Sulem formulation in the rotational framework. Then, we study different asymptotic models in shallow waters. First, we fully justify on large times the Boussinesq equations, asymptotic model in a weakly nonlinear regime, and then we fully justify the Poincaré waves and the Ostrovsky equation.
Nous considérons l'équation de Schrödinger avec une non-linéarité logarithmique, dont le signe est tel qu'il n'existe pas de solution stationnaire (non triviale). Des calculs explicites dans le cas de données gaussiennes font apparaître trois phénomènes nouveaux, dans le régime en temps grand : la dispersion est accrue d'un facteur logarithmique en temps, les normes de Sobolev (d'indice positif) croissent logarithmiquement en temps, et après une remise à l'échelle de la fonction inconnue, le module de la solution converge vers une gaussienne universelle (indépendante de la gaussienne initiale). Ces phénomènes persistent pour des données initiales générales (non nécessairement gaussiennes), quitte à considérer une limite faible pour le troisième point. Parmi les étapes de la preuve, nous présenterons une transformée de Madelung permettant de réduire l'équation à une variante de l'équation d'Euler compressible isotherme, dont le comportement en temps long fait intervenir une équation parabolique liée à un opérateur de Fokker-Planck. Il s'agit d'un travail en commun avec Isabelle Gallagher.