Une question aussi ancienne que la programmation linéaire consiste à trouver une règle de pivotage pour l’algorithme du simplexe conduisant à un nombre polynomial d’opérations. Une autre question consiste à trouver un algorithme résolvant en temps polynomial un jeu répété déterministe dont la valeur est définie comme un paiement moyen par unité de temps. Nous montrons que la convexité tropicale permet de relier ces deux questions: une règle de pivotage satisfaisant certaines conditions techniques permettrait de résoudre les jeux répétés. Nous exhiberons enfin un lien inattendu entre l’analogue tropical du chemin central et le chemin suivi par l’algorithme du simplexe tropical, conduisant à la construction d’exemples pathologiques de chemins centraux classiques dont la courbure totale est grande. Cet exposé présente des travaux récents avec Allamigeon, Benchimol, et Joswig, voir notamment arXiv:1308.0454, arXiv:1309.5925). Il s’appuie sur un travail avec Akian et Guterman (arXiv:0912.2462, IJAC 2012).