Séries de Poincaré et stratifications


Immanuel Halupczok, University of Leeds. 25 juin 2014 14:00 geo
Abstract:

Étant donné un polynôme f in Z[x], où x est un uplet de variables, on s'intéresse à déterminer le nombre de zéros dans l'anneau Z/mZ en fonction de m. En général, ceci est un problème difficile, mais Denef-Igusa-Meuser ont démontré que la série de Poincaré associée à f est une fonction rationelle. Ceci donne une relation (assez mystérieuse) entre les nombres de zéros dans Z/p^rZ quand p est un nombre premier fixé et r varie. Je vais donner une explication géométrique de ce résultat. L'ingrédient clé est l'existence de ``t-stratifications'' - stratifications qui, à priori, vivent dans des corps valués, mais qui induisent des stratifications de Whitney dans C et R. (En fait, les stratifications dans C et R induites par des t-stratifications sont même proche d'être des stratifications bilipschitz au sens de Mostowski.)