Abstract:
Un ovale d’une courbe algébrique réelle plane est dit pair, s’il est contenu dans un nombre pair d’ovales de la courbe. En 1906, Virginia Ragsdale a conjecturé que pour toute courbe de degré 2k avec p ovales pair,
p <= 3k(k-1)/ 2 + 1.
Cette conjecture a joué un rôle très important dans le développement ultérieur de la topologie des variétes algébriques réelles.
Le premier pas dans cette histoire à été fait par Igor Petrovski qui démontra la borne
p <= 7k2/4 - 9k/4 + 3/2.
Mais il fallut attendre 1993, pour que le premier contre-exemple soit exhibé par Ilia Itenberg grâce à l’utilisation du patchwork combinatoire. Plus précisément, Il construisit une famille de courbe de degré
2k avec
p = 81/48 k2 + O(k).
Cependant, une question restait ouverte : peut on raffiner la borne de Petrovski ?
J’expliquerai en détail dans cet exposé la construction d’Itenberg. Puis, en généralisant cette construction, je construirai une famille de courbes de degré
2k avec
p = 7/4 k2 + o(k2),
ce qui signifie que la borne de Petrovski est asymptotiquement optimale.
Ces courbes sont obtenues en combinant trois méthodes de construction : la méthode des petites perturbations, le patchwork et les dessins d’enfants. La première était connue dès le XIXème siècle, la seconde est dûe à Viro dans les années 70 et la dernière a été introduite recemment en géométrie algébrique réelle.