Nous revisitons le problème de Plateau: étant donné une courbe fermée, trouver la surface d’aire minimale ayant cette courbe comme frontière. La question que nous voulons discuter à nouveau est comment reconstruire effectivement la surface d’aire minimale connaissant la frontière.
Appuyé sur le théorème de Pierre Ossian Bonnet (1867) affirmant qu’une surface est déterminée à un déplacement euclidien près par ses premières et secondes formes fondamentales, nous renonçons à exhiber une surface minimale par ses équations paramétriques. Nous préférons découvrir dans un premier temps ses deux formes fondamentales. C’est la base de notre nouvelle méthode qui résout le problème de calcul des variations suivant :
minimiser l’aire regardée comme une fonctionnelle des deux formes fondamentales en respectant les conditions de compatibilité de Gauss-Coddazzi. Nous montrerons que les multiplicateurs de Lagrange introduits pour respecter ces contraintes satisfont une équation aux dérivées partielles conjuguée, comme lorsqu’on applique le principe de Pontriagine en commande optimale.
Références :
[1] Meusnier, Ch., Mémoire sur la courbure des surfaces, Mém. pré. sav. étrangers, Ac. sci., 10, 1785.
[2] Gauss, K. F., Disquisitiones generales circa superficies curvas, Comm. Soc. Göttingen Bd 6, 1823-1827. English translation in General Investigations of Curved Surfaces, Raven Press, New York, 1965.
[3] Darboux, G., Leçons sur la Théorie Générale des Surfaces, 4 vol., Gauthier-Villars, Paris, 1887-1896.
[4] Do Carmo, M.P., Differential Geometry of Curve and Surfaces, Prentice-Hall International, London, 1976.
[5] Vallée, C.; Fortuné, D., Compatibility equations in shell theory, International Journal of Engineering Science, Vol. 34, N° 5, pp 495-499, 1996.
[6] Fokas, A. S.; Gelfand, I. M., A unified method for solving linear and nonlinear evolution equations and an application to integrable surfaces, the Gelfand Mathematical Seminars, pp 75-92, Birkhäuser, Boston, MA, 1996.
[7] Fokas, A. S.; Gelfand, I. M., Surfaces on Lie groups, on Lie algebras, and their integrability, Comm. Math. Phys., Vol. 177, N° 1, pp 203-220, 1996.
[8] Fokas, A. S.; Gelfand, I. M.; Finkel, F.; Liu Q. M., A formula for constructing infinitely many surfaces on Lie algebras and integrable equations, Selecta Math.(N.S.), Vol. 6, N° 4, pp 347-375, 2000.
[9] Finkel, F.; Fokas, A.S., A new immersion formula for surfaces on Lie algebras and integrable equations. Bäcklund and Darboux transformations, The geometry of solitons (Halifax, NS, 1999), pp 207-216, CRM Proc. Lecture Notes, 29, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2001.