Soit (M,g) une surface Riemannienne complète, non-compacte. On considère des opérateurs de la forme Delta + aK + W, où Delta est le Laplacian positif ou nul, K la courbure de Gauss, W une fonction localement intégrable, et a un réel strictement positif. On suppose que la partie positive de W est intégrable, et on se pose la question suivante : ``Quelles conclusions sur (M,g) et W peut-on déduire du fait que Delta + aK + W est positif ou nul ?'' Cette question est motivée par l'étude des surfaces minimales, ou à courbure moyenne constante, stables. Comme conséquence de nos résultats, on donne une nouvelle preuve du théorème de Huber et de l'inégalité de Cohn-Vossen. On améliore des résultats antérieurs dans les cas où W est positif ou nul et a entre 0 et 1/4.