On présentera deux modèles où de fortes oscillations peuvent induire sur le problème limite un gain de dissipation. Le premier concerne l'étude d'un fluide visqueux forcé par une source fortement oscillante. On perturbe une solution stationnaire à l'instant initial. On montre que le temps d'existence de la famille de solutions perturbées peut être minoré indépendamment de la taille de la perturbation. En particulier, on exhibe une solution approchée qui justifie que l'interaction d'oscillations peut se traduire au niveau macroscopique par la création d'une viscosité turbulente. Puis on développera un modèle de plasmas pour ITER avec collisions. Sous l'effet d'un champ magnétique, les particules tournent fortement autour des lignes de champ. Lorsque il devient très grand (les oscillations sont très rapides) le terme de collisions, qui dissipe uniquement en vitesse initialement, fait apparaître une dissipation en position.
Le problème de la maximisation des valeurs propres de Neunmann d'un domaine euclidien est très difficile. Pour un domaine du plan, la conjecture de Polya (1954) dit que les valeur propres mu_k de Neumann sont bornées supérieurement par 4k Pi. Dans cet exposé je présenterai une inégalité optimale pour la deuxième valeur propre non nulle mu_2. Je discuterai aussi la maximisation des valeurs propre de Steklov d'un domaine du plan, ainsi que le contrôle isopérimétrique de ce spectre en dimension supérieure à deux. Les travaux présentés sont des collaborations avec N. Nadirashvili, I. Polterovich, B. Colbois et A. El Soufi.
Upper bounds are obtained for the heat content of an open set D in a geodesically complete Riemannian manifold M with Dirichlet boundary condition on the boundary of D, and non-negative initial condition. We show that these upper bounds are close to being sharp if (i) the Dirichlet-Laplace-Beltrami operator acting in L2(D) satisfies a strong Hardy inequality with weight d^{-2}, (ii) the initial temperature distribution, and the specific heat of D are given by d^{-a} and d^{-b} respectively, where d is the distance to the boundary of D, and 1 < a < 2; 1 < b < 2.
On s'intéresse à trouver la constante optimale pour l'immersion de l'espace W^{2,1}_Delta(Omega) qui est l'ensemble des u dans W^{1,1}_0(Omega) tel que Delta u appartienne à L^1(Omega) dans L^1(Omega) où Omega est un domaine borné de R^n avec frontière de classe C^{1,1}. Ceci est équivalent à trouver la première valeur propre de l'opérateur 1-biharmonique avec conditions au bord de Navier (généralisées). Dans cet exposé on donne une interpretation du problème aux valeurs propres, on montre une inégalité du type Faber-Krahn, et, si Omega est une boule, on calcule explicitement la première valeur propre et la fonction propre associée. Les résultats ont été obtenus en collaboration avec Bernhard Ruf et Cristina Tarsi (Université degli Studi di Milano)
Cet exposé est consacré à l'étude de systèmes (elliptiques avec condition de Dirichlet sur le bord) comportant des oscillations à l'échelle microscopique. L'objectif est de caractériser la limite lorsque la taille caractéristique des oscillations tend vers 0, autrement dit d'homogénéiser les petites échelles. Suivant que les oscillations sont périodiques et concernent les coefficients du système, ou sont contenues dans la donnée sur le bord (systèmes de couche limite), leur effet sur la limite est très différent. Nous passerons en revue les résultats classiques sur les développements multi-échelles, et montrerons des résultats récents sur l'homogénéisation du problème de couche limite
Au cours de cet exposé, j'introduirai deux approches qui aboutissent à la résolution de modèles non-locaux pour l'analyse de la dynamique sédimentaire. La première portera sur l'équation d' A.-C. Fowler qui correspond à l'équation de Burgers visqueuse modifiée par un terme non-local qui peut être identifié à un Laplacien fractionnaire anti-diffusif. Dans la seconde approche, nous utilisons les principes de minimisation pour décrire l'évolution d'un lit érodable sous l'action de l'eau. Il sera intéressant de constater que cette seconde méthode peut être liée à la première.
Dans cette exposé, nous proposons une nouvelle formulation des problèmes d'estimation de flot optique et de stéréo-vision qui repose sur une analogie avec les problèmes de débruitage. Le caractère mal posé de ces problème nous conduit à la régularisation par variation totale que nous controllons grâce a des modèles de décomposition.
On dérive un modele Eulerien d'interfaces di ffuses pour l'interaction ``solide élasto-plastique - fluide compressible'' dans le cas de grandes déformations. Les applications du modèle aux problèmes d'impact seront présentées. Références 1. Favrie, N. and Gavrilyuk, S. (2011a) Mathematical and numerical model for nonlinear viscoplas- ticity, Phil. Trans. R. Soc. A, 369, 2864-2880. 2. Favrie, N. and Gavrilyuk, S. (2011b) Di use interface model for compressible fluid-compressible elastic-plastic solid interaction, J. Computational Physics (soumis).
We discuss linearized stable and finite Morse Index solutions of weakly nonlinear elliptic equations on all of R(N) or half spaces and discuss their application to bounded domain problems where either the diffusion is small or the solutions are large.
L'étude des sensibilités de la solution d'une EDP par rapport aux paramètres et à la donnée frontière est un problème important du point de vue théorique et pratique. Je m'intéresse en particulier à l'existence d'incertitudes d'origine statistique (donc aléatoire) sur les paramètres et la donnée frontière. Du point de vue théorique, ce travail est basé sur la théorie des erreurs par formes de Dirichlet, développé par Nicolas Bouleau, qui propose un cadre rigoureux pour étudier le problème de transmission des incertitudes aléatoires. La première partie de l'exposé sera donc une présentation générale de cette approche, je vais souligner les liens avec les statistiques ainsi que la mise en pratique des outils dans les cadre des EDP. Dans une deuxième partie je vais présenter un exemple simple, l'équation de la chaleur, et montrer les premiers résultats intéressants. Enfin, je vais présenter l'application dans le cadre des EDP non-lineaires en prenant le cas des équations de Saint-Venant.
Dans cet exposé, on s’intéresse à la propagation dans un gaz moléculaire de champs électromagnétiques intenses et courts. Dans ce régime, les modèles classiques perturbatifs de type onde/Schrödinger non-linéaires étant non valides, un modèle micro-macro Maxwell- Schrödinger été ́établi. Le champ électromagnétique est modélisé par les équations de Maxwell macroscopiques, couplées (via une approche Particle-In-Cell) avec des équations de Schrödinger quantiques dépendantes du temps. Cette description ab-initio non-perturbative de la réponse du gaz au champ, permet d’inclure précisément les non-linéarités et harmoniques d’ordre élevé, ainsi que la génération de plasma d'électrons libres. Après une discussion sur les propriétés mathématiques du modèle, on s’intéressera à sa (coûteuse) discrétisation, et aux moyens proposés pour optimiser cette discrétisation (adaptation de maillage par MRA, conditions limites artificielles, etc). Finalement, on présentera des résultats numériques illustrant le bon comportement du modèle (auto-focalisation, défocalisation dû au plasma/non-linéariés d’ordre élevé).
It is well known that for general evolution problems it is not necessarily possible to infer linear stability from spectra. Known counterexamples include hyperbolic PDEs. A possible way out of this is to investigate criteria in addition to the spectrum which would imply stability. Such criteria are typically based on a WKB type approximation for short wave disturbances. In recent work by Shvydkoy, such criteria, originally developed for the Euler equations, are generalized to a class of equations he calls ``advective.'' It is proved that creeping flows of nonlinear viscoelastic fluids of Maxwell type fall into this category. Shvydkoy's results are for problems with periodic boundary conditions. If homogeneous Dirichlet conditions are imposed on the boundary, it can be shown that wall modes are spectrally determined, and stability can still be decided on the basis of Shvydkoy's criterion. In addition to the spectrum of the linearized operator, this involves determining the stability of a variable coefficient ODE system along each streamline of the base flow. It is also proved that linear stability implies nonlinear stability for small perturbations.
It is a well accepted point of view that the flow of amorphous media is realized via local plastic events that correspond to small rearrangements in the disordered structure. When such materials are actively deformed, the local plastic events will organize into avalanches, that span the whole system in the limit of small strain rates. In this talk I will describe how this cooperative behavior influences diffusion in the sheared material and I will show a direct relation between the diffusion coefficient and the dynamical susceptibility. Considering experiments this means that the measure of the often more easily accessible diffusion coefficient of tracer particles in a sheared disordered material can provide detailed inside into its microscopic rheology.
Dans ce travail commun avec D. Cohen-Steiner et F. Chazal, nous introduisons et étudions les mesures de bord d'un compact de l'espace Euclidien, qui sont étroitement reliées aux mesure de courbure introduites par Federer -- une notion courbure extrinsèque généralisée à une classe assez large de compacts de l'espace Euclidien. Notre but original est de faire de l'inférence géométrique, c'est-à-dire d'estimer des propriétés géométriques d'un 'objet' qu'on ne connaît qu'à travers un échantillon fini. Notre résultat principal est un théorème de stabilité qui permet d'utiliser les mesures de bord dans ce cadre: la mesure de bord d'un compact change peu lorsque celui-ci est remplacé par une approximation Hausdorff --- sans aucune hypothèse de régularité sur aucun des deux compacts. Ce théorème est quantitatif et optimal en un certain sens. En corollaire, on montre qu'il est possible d'approcher les mesures de courbure de Federer d'un compact (dans la classe considérée par Federer) à partir d'un échantillon fini suffisamment Hausdorff-proche. Les aspects algorithmiques du calcul seront brièvement discutés.