We obtain several averaging lemmas for transport operator with a force term. These lemmas improve the regularity yet known by not considering the force term as part of an arbitrary right-hand side. We compare the obtained regularities according to the space and velocity variables.
Nous présentons une approche (1D) d'écoulement mixte en conduite fermée à section non uniforme. Le modèle est dérivé à partir des équations d' Euler compressible et incompressible. Par le choix de variables dites équivalentes et d'une pression adéquate, on réécrit le modèle sous une seule formulation. Ce modèle fait intervenir des termes sources complexes que l'on propose de décentrer dans le cadre d'un schéma cinétique: les termes en question sont les termes sources de pression, les termes de géométrie et la friction. La difficulté du décentrement réside en la nature de chacun des ces termes : produits conservatifs, non-conservatifs ou d'aucun de ces deux types. On termine par quelques tests numériques où l'on compare les résultats obtenus avec une méthode type VFROE. Notamment, notre approche conserve la symétrie de certains écoulements contrairement à une approche explicite classique.
We apply the semigroup setting of Desch and Miller to a class of stochastic integral eqations of Volterra type with completely monotone kernels with a mutiplicative noise term. The corresponding equation is an infinite dimensional stochastic equation with unbounded diffusion operator that we solve with the semi group approach of Da Prato and Zabezyk. As a motivation of our results, we study an optimal control problem when the control enters the system together with the noise.
Nous considérons un écoulement de deux fluides newtoniens, imcompressibles et immiscibles dans un domaine mince. Nous supposons que l'écoulement est gouverné par les équations de Navier-Stokes. Dans un premier temps nous considérons que les deux fluides n'ont pas la même vitesse et nous ne tenons pas compte de la variation de la hauteur totale des fluides. Ainsi nous dérivons un modèle de Saint-Venant bicouche à toit rigide. Nous montrons la stabilité de solutions faibles du modèle. Dans un second temps nous supposons que la surface est libre mais que les deux fluides ont la même vitesse. Nous finissons par une étude numérique du modèle 1D.
Les équations différentielles stochastiques rétrogrades ont été introduites par Pardoux et Peng en 1990. La motivation initiale était de généraliser à des problèmes non-linéaires la formule de Feynman-Kac (représentation probabiliste d'EDP du second ordre). J'essaierai dans un premier temps d'expliquer les liens entre ce type d'équations stochastiques et la théorie des EDP puis dans un second temps je donnerai d'autres applications par exemple à la finance et/ou à la théorie des martingales.
Cet exposé est basé sur le modèle de Canh-Hilliard qui permet de décrire l'évolution du mélange de plusieurs espèces. Il est décomposé en trois parties, une première partie qui concerne la biologie du cancer, la deuxième partie parle d'un modèle mathématique mis en place par Preziosi sur le cancer et enfin on essaie de voir le cancer comme un mélange d'espèces (cellules normales, cellules malades, matrice extracellulaires, ...)
Une justification mathématique de la condition d'adhérence imposée classiquement dans de nombreux modèles (notamment les modèles de mouvement de fluides visqueux) consiste à remplacer la paroi lisse, idéale, par une paroi rugueuse. L'idée est d'imposer uniquement une condition de non pénétration sur la paroi rugueuse, et de montrer que la condition d'adhérence s'obtient dans le modèle limite quand la taille des aspérités tend vers 0. Après avoir discuté du sens à donner à ce passage à la limite, nous montrerons sous quelles conditions une paroi périodique ou cristalline donne lieu à un effet de rugosité uniforme, sur des champs de vecteurs H^1 vérifiant une condition de glissement parfait sur la paroi rugueuse. En particulier cet effet de rugosité est indépendant d'une éventuelle équation satisfaite par les champs de vecteurs sur lesquels on l'applique.
The influence of wall roughness on the slip behavior of a viscous fluid has been discussed in several recent papers. We study the asymptotic behavior of a viscous fluid near a periodic oscillating wall with period epsilon and amplitude depending on the period. We assume the fluid to satisfy the so-called Navier’s boundary conditions. When the period and the amplitude have the same order, it is known that in the limit this boundary condition provides the adherence (or no-slip) condition. This gives a mathematical justification of why adherence conditions are usually imposed for viscous fluids, they are due to the microscopic asperities. In our work we consider the case where the amplitude is much smaller than the period. We show the existence of a boundary layer and, depending on if its value is zero, a positive number or infinite, we get different boundary conditions in the limit. As particular case, we can recover the adherence condition. The proof of our results is based on an original adaptation of the unfolding method, which is closely related to the two-scale convergence method.
Beaucoup de matériaux ont un comportement intermédiaire entre les solides élastiques et les fluides newtoniens. La rhéologie est l'étude de ces matériaux et de leurs conditions d'écoulement. Parmi ces matériaux nous présenterons brièvement la classe des matériaux vitreux/pâteux qui présente plusieurs propriétés caractéristiques des fluides complexes: ce sont des fluides élastoviscoplastiques. Après avoir rappelé ce que sont ces propriétés, nous présenterons un modèle multi-échelle conçu pour décrire le comportement des fluides vitreux. Nous étudierons ensuite les courbes de flots attachées à ce modèle pour montrer que leurs comportement à faible cisaillement subit une transition lorsque l'un des paramètres du modèle passe par une valeur critique.
Les méthodes symplectiques pour les systèmes hamiltoniens sont certainement les intégrateurs géométriques les plus connus. Leurs performances surpassant celles des méthodes classiques sur de long temps d'intégration sont bien établies. Une généralisation de ces méthodes d'intégration aux EDP possédant une formulation hamiltonienne, ainsi qu'aux systèmes dérivant d'un lagrangien existe. Elle repose sur la préservation de lois de conservation, celles-ci étant reliées aux symétries du système via le théorème de Noether. Que se passe-t-il pour une EDP n'ayant pas de structure particulière: comment peut-on étendre les performances des intégrateurs symplectiques à une EDP quelconque? Comment conserver les symétries d'une équation par une méthode numérique? Le coeur de l'exposé consistera à présenter une approche d'invariantisation permettant de construire de façon systématique des schémas numériques préservant les symétries de Lie des équations continues. Elle repose sur le concept de repères mobiles introduit par Elie Cartan, puis développé et adapté par M. Fels et P. J. Olver. Les premières applications d'invariantisation ont été réalisées par P. Kim pour les EDO et pour quelques EDP. Une contribution au développement de la méthode sera présentée.
An efficient numerical scheme for simulations of fully nonlinear non-breaking surface water waves in 3D is presented. The water depth is either shallow, finite or infinite. The method is based on a fast, rapidly converging, iterative algorithm to compute the Dirichlet to Neumann operator. This is evaluated by expanding the operator as a sum of global convolution terms and local integrals with kernels that decay quickly in space. The global terms are computed very quickly via FFT. The local terms are evaluated by numerical integration. Analytical integration of the linear part of the prognostic equations in Fourier space is obtained to machine precision. The remaining nonlinear components are integrated forward in time using an RK-scheme combined with a special step size control technique. This yields a very stable and accurate time marching procedure. Zeros-padding in the spectral space represents the anti-aliasing strategy. The method requires no smoothing. Illustration through examples show that the total energy is well conserved during the numerical simulations. The scheme is stable and accurate, even for very long time simulations of very steep wave events. The scheme is easily parallelizable. It propagates for example a Stokes wave of slope 0.2985 with a phase shift error of about 0.3 after 1000 periods of propagation.
Les solutions stationnaires des équations aux dérivées partielles hamiltoniennes sont les points critiques du Hamiltonien. La stabilité de ces solutions est lié au nombre de valeurs propres la Hessienne du Hamiltonien. Il est possible de compter ces valeurs propres en utilisant un invariant topologique appelé indice de Maslov. Nous appliquons ce cadre de travail à certaines solutions stationnaires de l'équation de Korteweg de Vries avec forçage ainsi qu'aux ondes solitaires multi-modales de l'équation de Kawahara.
Dans cet exposé, nous présentons un nouveau modèle de type Boussinesq, dont le but est de pouvoir propager correctement les vagues et leurs cinématiques sur des domaines étendus allant jusqu'à plusieurs kilomètres au large. La construction du modèle repose sur trois idées: la première est de formuler le problème en fonction d'un opérateur de Dirichlet-Neumann exprimé, non pas à la surface libre de manière classique, mais au niveau de la surface du fluide au repos, de manière à travailler sur un opérateur statique. La seconde idée est de chercher une approximation de cet opérateur au moyen de séries de Taylor tronquées et d'approximants de Padé. La troisième est enfin d'utiliser une décompositionartificielle du fluide en deux couches de même densité, de manière à diminuer l'ordre des dérivées du problème. Le modèle final comprend ainsi quatre équations (en 2DH) ne faisant intervenir que des dérivées secondes au maximum, et nous montrons via une analyse linéaire et des simulations numériques non-linéaires que le modèle permet de propager des vagues avec précision jusqu'en eaux profondes.
On présentera tout d'abord le problème de l'élastodynamique (en formulation vitesse-contraintes) qui modélise la propagation de deux types d'ondes sismiques : les ondes P et les ondes SV. Ensuite, l'exposé s'orientera vers les méthodes de Galerkin Discontinues que nous comparerons brièvement aux méthodes de Différences Finies, Volumes Finis et Elements Finis (avantages/inconvénients). Nous décrirons alors une méthode de Galerkin Discontinue d'ordre élevé avec un schéma saute-mouton en temps combiné à un schéma centré en espace. Des résultats de stabilité (avec une étude énergétique) et de convergence seront ensuite présentés. Enfin, nous illustrerons l'exposé par quelques résultats numériques (taux de convergence et temps CPU), ainsi que par un cas test avec une source explosive.
We consider a drop of one liquid suspended in another liquid which is sheared as a model of a Couette device. Numerical simulations are conducted with an in-house volume of fluid (VOF) code with either a continuum surface force (CSF) algorithm with piecewise linear interface reconstruction or with a more accurate but computationally more intensive paraboloid representation of the interface (PROST). The methodology will be presented. The Oldroyd-B and Giesekus constitutive models are implemented. Comparisons with recent experimental results of P. Moldenaers (KU-Leuven) will be discussed
Controllability refers to the possibility of steering a system from a given initial state to a desirable state with a given class of control inputs. In continuum mechanics, the control if usually affected by a body force or boundary conditions. Viscoelastic flows pose an interesting class of problems for which the linearized problem is only partly controllable, and the question to what extent nonlinear problems can be controlled is in general quite difficult. The lecture will review partial result on this topic which I have obtained over the past few years.
Ce colloque est organisé par la Fédération de Recherche 2914 '' Modélisation, Simulation, Interactions fondamentales'', regroupant le LAMA, le LAPP et le LAPTH . Ce colloque impliquant des interfaces entre disciplines différentes a pour but premier de promouvoir des échanges d’idées et de concepts entre chercheurs de disciplines différentes ; il est donc adapté pour permettre la discussion entre personnes de domaines de compétences différents.