L'effet de la structure discrète d'un milieu a petite échelle sur les ondes non linéaires qui s'y propagent est pris en compte dans un nombre croissant de modèles. Un effet du a la discrétisation peut etre le piegeage d'oscillations non linéaires autour de quelques sites d'un réseau. Un cadre mathématique pour mieux comprendre ce phénomène est l'étude des ``breathers'' (oscillations périodiques en temps et spatialement localisées) dans des réseaux d'oscillateurs non linéaires couplés. Nous examinons ce problème pour le modèle de Fermi-Pasta-Ulam, qui consiste en une chaine (ici infinie) de particules en interaction non linéaire, le couplage étant limité aux deux premiers voisins. L'existence de breathers dans ce système a ete suggerée il y a une trentaine d'années par Tsurui, en se ramenant (à partir de développements multi-echelles formels) à une équation de Schroedinger non lineéire en dimension 1. Mais cette approximation correspond-elle a des solutions exactes ? Nous verrons que cette question conduit à étudier des itérations d'applications en dimension infinie, dont la partie linéaire est un opérateur non borné, mais dont la dynamique locale est de dimension finie grace a de bonnes proprietes spectrales.
On étudie les deux limites dans le systèmme de Born- Infeld, ou le paramètre est interpreté comme le champ électrique maximal dans la théorie électromagnétique et le paramètre nul correspond à la théorie des cordes. Les deux limites sont décrites par les équations de Maxwell classiques et le système MHD sans pression. On donne les relations entre ces limites et les limites des champs forts et faibles de Brenier. Enfin, on justifie ces limites pour les solutions entropiques dans L∞ en une dimension d’espace, en utilisant des arguments de compacité et des techniques à des systèmes Lagrangiens linéaires.
On fera le point sur les travaux récents, concernant l'équation de Boltzmann dans le cas homogène et avec des noyaux singuliers. On s'intéressera en particulier au problème de la régularité des solutions.
Les matériaux ferromagnétiques sont des aimants permanents. Ce type d'objets intervient dans de nombreuses applications (des télécommunications à l'enregistrement magnétique). Pour modéliser leur comportement, on utilise la théorie du micromagnétisme introduite par W.-F. Brown dans les années 60. Dans cet exposé, nous présenterons des résultats théoriques sur les propriétés des solutions des modèles du micromagnétisme ainsi qu'une chaîne de calcul permettant de comparer résultats expérimentaux et simulations numériques.
We begin to recall that usually parabolic equations kill too high perturbations present in initial datas. Then we study interactions with high frequency oscillations and very small viscosity, especially the critical case when the viscosity coefficient is the square of the oscillation wavelength.
On s'intéresse à une équation de Boltzmann régissant l'évolution de particules interagissant suivant des collisions inélastiques. On établit des propriétés de stabilité des solutions, ainsi que de convergence vers certains profils asymptotiques. Pour cela on utilise des techniques liées au transport optimal de mesures.
L'effet Raman est un phénomene nonlinéaire qui apparait lorsqu'un laser est envoyé dans un plasma. On observe la naissance d'une onde électromagnetique retrodiffusée qui provoque une baisse d'intensité de l'onde laser incidente. Ce phenomène est décrit par un système de Zakharov généralisé. Le but de l 'exposé est de preéenter ce système, d 'en étudier le problème de Cauchy et de montrer des simulations numériques qui rendent compte de l'effet Raman.
On s'intéresse au système d'Euler-Poisson qui intervient dans la modélisation mathématique des semi-conducteurs et des plasmas. On se place dans le cas uni-polaire stationnaire pour un flot potentiel. Apparaissent dans ce système trois paramètres physiques importants : la masse d'électrons, le temps de relaxation et la longueur de Debye. Ces paramètres sont petits devant la longueur caractéristique de l'appareil. Il est donc intéressant d'étudier leur limite en zéro. Nous nous sommes intéressés à ces problèmes et avons obtenu des résultats par une méthode de développements asymptotiques.
La dérivée topologique est un outil récent introduit par Sokolowski et Zochowski pour l'optimisation de formes. Elle permet de mesurer la variation d'une fonctionnelle dépendant d'un domaine géométrique quand on crée une petite cavité à l'intérieur de ce domaine. On peut définir la dérivée topologique pour les fonctionnelles d'énergie de problèmes d'obstacles, y compris les problèmes de contact sans frottement en mécanique des solides. Nous présentons quelque résultats, essentiellement numériques, qui confirment le bien-fondé de l'utilisation de la dérivée topologique dans le cadre d'une méthode ``levelset'', pour l'optimisation de forme du problème de Signiorini.
Dans cet exposé nous présenterons quelques résultats de stabilité, au sens de Lyapounov, des systèmes dynamiques du second ordre avec application au frottement sec. Plus précisément, nous nous intéressons à la stabilité et l'attractivité des solutions stationnaires d'une classe d'inclusions différentielles du second ordre. Le modèle considéré peut être utilisé en Mécanique du Contact pour décrire le comportement dynamique de systèmes à degrés de liberté finis soumis à des forces de frottement.