Dans cet exposé, on considère la résolution numérique de problèmes de contact unilatéral de type Signorini en élasticité linéarisée par des méthodes des éléments finis. En discutant de modélisations de problèmes de contact complexes issues d'applications non académiques, on montre la nécessité d'introduire de nouveaux outils de discrétisation dans le domaine de la mécanique de contact. A cet effet, on propose une méthode de domaine fictif comme nouveau cadre de résolution de tels problèmes dans des domaines géométriques complexes et/ou en mouvement. Cette nouvelle méthode de discrétisation permet, en plus de la gestion de zones de contacts qui varient, d'utiliser des stratégies adaptatives efficaces (optimales) de résolution qui sont nécessaires pour ces problèmes souvent complexes et aux coûts de résolution élevés. On présente des résultats de simulations numériques en accord avec les estimations théoriques et qui montrent l'intérêt de cette approche (méthode de domaine ficitf et adaptativité) pour résoudre ces problèmes difficiles.
Des problèmes hyperboliques à coefficients discontinus apparaissent suite à la modélisation de certains phénomènes physiques. Ces problèmes, pris tels quels, n'ont en général pas de sens classique, c'est pourquoi une autre approche doit être proposée. Il s'agit là d'une thématique de recherche sur laquelle ont notamment travaillé Bouchut et James, LeFloch, Bachmann et Vovelle, Poupaud et Rascle, ... Mon exposé portera sur divers problèmes linéaires hyperboliques du premier ordre, discontinus au travers d'une hypersurface non-caractéristique fixée. La motivation est ici l'étude de la propagation d'ondes linéaires en présence d'une interface fixée, joignant par exemple deux fluides compressibles associés à des lois d'état différentes. L'approche choisie est une approche à viscosité évanescente. Nous montrons, dans différents cadres, que cette approche permet de sélectionner une unique solution à petite viscosité au problème. On verra en particulier que la nature de l'interface joue un rôle prépondérant.
Le système de Keller-Segel décrit simplement une instabilité due à la chemotaxie, lorsque des cellules s'attirent mutuellement via un signal chimique (des exemples issus de la modélisation illustrent cette instabilité). Nous étudions des généralisations du modèle de Keller-Segel, incluant notamment une diffusion nonlinéaire des cellules, ou bien une loi de diffusion chimique à noyau de Green logarithmique. Puis nous proposons une formulation de type Wasserstein qui permet d'analyser efficament le cas de la dimension 1 d'espace. Cette nouvelle approche permet de mieux appréhender la géométrie du modèle de Keller-Segel. Ce travail est le fruit de collaborations avec Adrien Blanchet, José Carrillo, et Hossein Khonsari.
Ce texte de synthèse a pour but de présenter l'évolution de mes recherches postèrieures à ma thèse. Ce travail s'articule autour de plusieurs axes de recherche dans le cadre des équations aux dérivées partielles non linéaires et en particulier des lois de conservation. Il s'inscrit dans l'étude des problèmes hyperboliques, des problèmes mixtes et des équations cinétiques. Les domaines d'application sont la mécanique des fluides ou du solide, la propagation de composants chimiques, l'électromagnétisme, l'optique. Mon activité concerne d'abord la modélisation de phénomènes physiques ou chimiques sous forme d'équations aux dérivées partielles non linéaires telles que les équations de Bloch, Korteweg, Navier-Stokes, Saint-Venant, puis vient l'étude mathématique de ces équations à travers les problèmes d'existence, d'unicité, de régularité avec éventuellement la mise au point de méthodes numériques de résolution. Ce document est divisé en une introduction générale et trois chapitres qui concernent respectivement les systèmes hyperboliques avec conditions aux limites et la chromatographie, les problèmes d'analyse asymptotique et enfin les méthodes cinétiques. Dans chaque partie, un historique et une présentation des différents résultats mathématiques sont faits et quelques problèmes ouverts sont donnés.
Dans une première partie, nous présentons des équations de Saint-Venant. Sur le modèle proprement dit, nous remarquons tout d'abord que, suivant le lien entre la viscosité et le rapport d'aspect, il est indispensable de conserver l'expression complète de la force de Coriolis : nous obtenons ainsi un nouveau modèle, avec un ``effet cosinus''. Nous montrons alors que les preuves d'existence de solutions faibles peuvent être adaptées à ce nouveau système. Des simulations numériques de certaines ondes soulignent l'importance de ce terme. Nous étudions ensuite l'influence des conditions limites (surface, fond) et du tenseur des contraintes sur des modèles de type Saint-Venant. Nous présentons également des modèles obtenus en utilisant des échelles multiples en espace et en temps. Enfin, nous analysons théoriquement et numériquement un nouveau modèle de sédimentation puis nous donnons certains résultats pour les fluides visco-plastiques. Dans une deuxième partie, nous nous intéressons aux équations limites que sont les équations quasi-géostrophiques (QG) et les équations des lacs. L'étude numérique des équations QG 2d met en évidence le rôle de l'effet cosinus de la force de Coriolis. En fonction de la topographie considérée, nous montrons que celui-ci peut être non négligeable. Toujours sur les équations QG, nous donnons un schéma, basé sur des développements asymptotiques, qui permet de bien capter la couche limite mais aussi d'ajouter le terme de topographie à la solution obtenue avec fond plat, sans tout recalculer. Enfin, nous expliquons l'obtention des équations des lacs avec effet cosinus, et nous prouvons que les propriétés d'existence de solutions restent valables.
Il s'agit d'un travail en collaboraion avec Gérard Philippin de l'Université Laval à Québec. Dans cet exposé, nous nous intéressons au produit de moment d'inertie sur un domaine, ainsi que des moments d'inertie sur le bord d'un domaine. Dans chacun des cas, nous cherchons quels sont les domaines du plan d'aire fixée qui minimise ces produits. Nous montrerons également comment ce travail est connecté à une inégalité isopérimétrique satisfaite par les premières valeurs propres de l'opérateur de Stekloff.
Cet exposé traite de l'évolution quasi-statique de fissures dans des films minces fragiles obéissant au critère de Griffith. Le point de départ est un cylindre tridimensionnel d'épaisseur arbitrairement petite. L'existence d'une évolution quasi-statique du modèle de Francfort-Marigo a été démontrée par Dal Maso-Francfort-Toader et l'on cherche à savoir comment celle-ci se comporte lorsque l'épaisseur du film tend vers zéro. Tout d'abord, le problème statique sera présenté au moyen d'une analyse par Gamma-convergence avec une énergie de surface ne donnant pas de compacité dans l'espace SBV des fonctions spéciales à variation bornée. Il sera démontré que l'énergie de surface limite (bidimensionnelle) est toujours de type Griffith et que l'énergie de volume est la même que celle obtenue par Le Dret-Raoult dans les espaces de Sobolev. Ensuite, l'analyse asymptotique de l'évolution quasi-statique sera présentée dans le cas de solutions uniformément bornées. En particulier, il sera démontré qu'elle converge en un certain sens vers une évolution quasi-statique associée au modèle Gamma-limite.
In the talk I discuss the crack initiation problem in a hyper-elastic body governed by a Griffith's type energy. The main tool employed to address the problem is a local minimality result for a free discontinuity functional F involving bulk and surface energies: under general assumptions concerning the shapes of the admissible cracks, the uncracked configuration turns out to be a local minimizer of F.