Les probabilités de ruine dans le modèle classique de la théorie du risque pour une compagnie d'assurance sont représentées par la formule de Pollaczek-Khintchine. Cette représentation a la forme d'une série de convolutions. L'approche consiste à faire une troncature de la série et à approcher les convolées par une quadrature de type quasi-Monte Carlo ou de type Monte Carlo.
La représentation des images par des descripteurs géométriques locaux s'est imposée dans nombre d'applications comme la détection d'objets, l'identification de scène, la reconstruction 3D, la création de panorama, etc. Ces descripteurs sont généralement construits autour de points d'intérêt, par exemple sous la forme d'histogrammes locaux d'orientation du gradient de l'image (cas des descripteurs SIFT proposés par D. Lowe), ce qui leur permet d'être invariants ou robustes à de nombreuses transformations et altérations de l'image. Dans cet exposé, on s'intéresse à l'appariement de tels descripteurs. Pour chaque descripteur d'un ensemble de requêtes, on souhaite décider s'il ressemble ou non à certains descripteurs d'une base de données. Dans la littérature, cette étape se résume souvent au choix d'un seuil sur la distance euclidienne au plus proche voisin. La procédure de mise en correspondance que nous proposons utilise d'une part une distance de transport entre descripteurs et d'autre part une approche a contrario qui permet de valider ou pas les mises en correspondance. Cette approche fournit des seuils de validation qui s'adaptent automatiquement à la complexité de chaque descripteur requête et à la diversité de la base de données. Elle permet à la fois de détecter plusieurs occurences d'une même requête et de gérer correctement les cas où aucune de ces requêtes n'est présente dans la base de données. Aux appariements ainsi validés correspondent des transformations dans le plan des images. La détection de groupes spatialement cohérents dans l'espace de ces transformations permet in fine de reconnaître des ``formes globales'' entre les images considérées.
Dans cette exposé nous étudions le problème d'évolution associé à l'équation de Monge-Kantorovich pour le transport optimale de masse. Il est aussi appelé le modèle de Prigozhin pour le tas de sable. Nous démontrons les résultats d'existence et d'unicité de solution dans le cas où les données sont des mesures et nous montrons comment appliquer des méthodes de dualités pour la résolution numérique. Enfin nous présentons quelques résultats de simulations numérique.
The purpose of this communication is to discuss the simulation of a free surface compressible flow between two fluids, typically air and water. We use a two fluid model with the same velocity, pressure and temperature for both phases. In such a model, the free surface becomes a thin three dimensional zone. The present model has at least three advantages: (i) the free-surface treatment is completely implicit; (ii) it can naturally handle wave breaking and other topological changes in the flow; (iii) one can easily vary the Equation of States (EOS) of each fluid (in principle, one can even consider tabulated EOS). Moreover, our model is unconditionally hyperbolic for reasonable EOS. First, we present the physical context of our study. Then, we introduce the governing equations and we give some rationales on the limit of this model to the classical free surface model. Finally, we present our numerical method based on a flux scheme which is, in particular, constructed to model accurately impacts of waves on walls. Since our code is designed for unstructured meshes, it can easily treat complex geometries (for example, liquified natural gas carrier tank). This communication will conclude with the presentation of different simulation results on the sloshing of a liquid in a closed container.
Le vitrier ou le carreleur exploite un phénomène que nous nous proposons d'analyser : une petite incision dans un matériau cassant permet de générer des concentrations de contraintes localisées. En termes mathématiques, nous considèrerons une perturbation singulière de la géométrie d'un domaine et présenterons l'analyse asymptotique de la solution de l'équation de Laplace dans ce domaine perturbé. Nous montrerons comment utiliser cette analyse pour le calcul numérique et le cas de plusieurs perturbations. Ces travaux sont réalisés dans le cadre de l'ANR Macadam.
On présente un ensemble d'études traitant de la modélisation numérique d'écoulements à surface libre. Les équations considérées peuvent être des équations de Navier-Stokes surface libre (résolues par des schémas éléments finis en formulation ALE - caractéristiques) ou encore leurs dérivées asymptotiques type ``shallow'' (non visqueux, schémas volumes finis). La première partie traite de la modélisation des plaines d'inondations et porte tout particulièrement sur les aspects inverses tels que la calibration des modèles, leur couplage faible simultané, l'identification de paramètres et l'assimilation de données. Ces approches sont basées sur les méthodes de contrôle optimal et des équations adjointes. La seconde partie traite d'une modélisation de la dynamique de la ligne triple en microfluidique (modèle de Shikhmurzaev). On y présente aussi bien des aspects analyse mathématique qu'élaboration d'algorithmes et illustration avec l'étalement d'une gouttelette sur un substrat solide. La troisième partie, dont les travaux viennent seulement de commencer, traite d'écoulements glaciaires multi-échelles. On y retrouve alors un ensemble d'ingrédients mathématiques, numériques et logiciels abordés dans les deux applications précédentes.
Le travail présenté est une collaboration avec Marius Mitrea, professeur à University of Missouri, Columbia. On s’intéresse aux équations de Navier-Stokes non compressibles pour des conditions au bord de Dirichlet dans des domaines bornés en dimension 3, sans imposer a priori de régularité au bord. La première difficulté est de donner un sens aux équations dans un tel cadre. On montre ensuite l’existence locale de solutions régulières à la Kato pour des données initiales dans un espace critique. Dans le cas où le domaine est àbord lipschitzien, les solutions obtenues ont la meme régularité que dans le cas de domaines réguliers. La preuve repose sur la caractérisation du domaine de l’opérateur de Stokes, ou plutot de ses puissances fractionnaires. http://junon.u-3mrs.fr/monniaux/chambery08.pdf
Dans cette exposé nous étudions les solutions, éventuellement non-bornées et de signe quelconque, des équations de Lane-Emden-Fowler dans des domaines non-bornés. Nous démontrons divers théorèmes de classification ainsi que des résultats de type Liouville. Notre analyse indique l'existence d'un nouvel exposant critique. Ce nouvel exposant critique est plus grand que l'exposant critique classique et il dépend de la dimension ainsi que de la géometrie du domaine considéré.
On se propose d'étudier les régimes périodiques des équations d'Hamilton-Jacobi du premier ordre avec un terme source périodique en temps. L'idée consiste à se ramener au problème stationnaire associé à l'hamiltonien effectif, moyenné en temps, plus simple à étudier. Notre analyse reposera sur la notion de constante ergodique cf. Lions, Papanicolaou, Varadhan. Un autre problème abordé sera celui du comportement en temps long. On montre la convergence vers des solutions périodiques ou fronts périodiques en temps. Ces outils permettent d'étudier le comportement en temps long de certains modèles de dynamique des populations.
Aujourd'hui, la compréhension et le contrôle de phénomènes complexes issus de la dynamique des fluides nécessitent le développement et l'utilisation d'outils de simulation numérique spécifiquement conçus et adaptés au contexte applicatif. Ceci permet de garantir la fiabilité et la pertinence des résultats obtenus, et constitue donc un enjeu majeur pour une multitude d'applications, notamment industrielles ou environnementales. Dans cet exposé, nous présentons la mise au point d'un schéma numérique hybride volumes finis / éléments finis basé sur un splitting en temps, pour la résolution des équations de Navier-Stokes incompressibles à densité variable. On montre en particulier que ce schéma permet de simuler des phénomènes instables de type Rayleigh-Taylor, en alliant précision et robustesse. Puis nous simulons l'écoulement d'un fluide visqueux incompressible en régime transitoire au dessus d'une marche descendante par une méthode vortex pour l'étude des zones rotationnelles. Une stratégie de contrôle actif est alors développée, permettant d'affiner la compréhension du processus de déclenchement tourbillonnaire et de le contrôler.
Je présenterai dans cet exposé les résultats obtenus récemment en collaboration avec Ying Hu sur les Équations Différentielles Stochastiques Rétrogrades quadratiques à coefficients non bornés. Si les résultats d'existence pour ce type d'équations sont satisfaisants, nous verrons que l'étude de l'unicité s'avère plus délicate et nécessite des hypothèses plus contraignantes. Il est néanmoins possible d'obtenir des résultats suffisamment précis pour obtenir, dans ce contexte, la formule de Feynman-Kac qui donne une représentation probabiliste de la solution d'une EDP non-linéaire quadratique dans le gradient de la solution. Je préciserai également les problèmes qui demeurent sans réponse pour ce type d'équations du point de vue de l'unicité comme du point de vue de l'approximation.
Je m'intéresse au modèle d'Euler-Poisson pour modéliser un plasma contenant à la fois des régions quasi-neutres et non quasi-neutres. Les discrétisations explicites classiques de ce système souffrent de contraintes numériques très sévères. Elles sont reliées à deux quantités bien connues en physique des plasmas qui sont la longueur de Debye et la période plasma. Ces discrétisations doivent résoudre ces deux échelles afin d'etre stables et consistantes. Or, dans les régions quasi-neutres la longueur de Debye et la période plasma sont très petites. Les couts calculs sont tels qu'il n'est pas possible de réaliser des simulations réalistes en dimensions deux ou trois. Je présenterai un schéma préservant l'asymptotique quasi-neutre, c'est à dire ne nécessitant pas la résolution des petites échelles pour assurer la stabilité et permettant de récupérer une discrétisation du régime quasi-neutre dans la limite quasi-neutre. De plus, une propriété importante de ce schéma est que, pour un pas de temps et un pas d'espace donnés, son cout calcul est le meme que les schémas explicites précédemment cités. Enfin, je terminerai mon exposé, par la description d'un problème de couche limite apparaissant dans la limite quasi-neutre lorsque les conditions aux limites ne sont pas bien préparées au régime quasi-neutre. Cette couche limite doit etre résolue afin d'assurer la stabilité des discrétisations. Je montrerai qu'en introduisant un développement formel de cette couche limite, on peut déterminer des données aux limites bien préparées permettant de s'affranchir de la résolution de la couche limite.
Dans cet exposé, on considère la résolution numérique de problèmes de contact unilatéral de type Signorini en élasticité linéarisée par des méthodes des éléments finis. En discutant de modélisations de problèmes de contact complexes issues d'applications non académiques, on montre la nécessité d'introduire de nouveaux outils de discrétisation dans le domaine de la mécanique de contact. A cet effet, on propose une méthode de domaine fictif comme nouveau cadre de résolution de tels problèmes dans des domaines géométriques complexes et/ou en mouvement. Cette nouvelle méthode de discrétisation permet, en plus de la gestion de zones de contacts qui varient, d'utiliser des stratégies adaptatives efficaces (optimales) de résolution qui sont nécessaires pour ces problèmes souvent complexes et aux coûts de résolution élevés. On présente des résultats de simulations numériques en accord avec les estimations théoriques et qui montrent l'intérêt de cette approche (méthode de domaine ficitf et adaptativité) pour résoudre ces problèmes difficiles.
Des problèmes hyperboliques à coefficients discontinus apparaissent suite à la modélisation de certains phénomènes physiques. Ces problèmes, pris tels quels, n'ont en général pas de sens classique, c'est pourquoi une autre approche doit être proposée. Il s'agit là d'une thématique de recherche sur laquelle ont notamment travaillé Bouchut et James, LeFloch, Bachmann et Vovelle, Poupaud et Rascle, ... Mon exposé portera sur divers problèmes linéaires hyperboliques du premier ordre, discontinus au travers d'une hypersurface non-caractéristique fixée. La motivation est ici l'étude de la propagation d'ondes linéaires en présence d'une interface fixée, joignant par exemple deux fluides compressibles associés à des lois d'état différentes. L'approche choisie est une approche à viscosité évanescente. Nous montrons, dans différents cadres, que cette approche permet de sélectionner une unique solution à petite viscosité au problème. On verra en particulier que la nature de l'interface joue un rôle prépondérant.
Le système de Keller-Segel décrit simplement une instabilité due à la chemotaxie, lorsque des cellules s'attirent mutuellement via un signal chimique (des exemples issus de la modélisation illustrent cette instabilité). Nous étudions des généralisations du modèle de Keller-Segel, incluant notamment une diffusion nonlinéaire des cellules, ou bien une loi de diffusion chimique à noyau de Green logarithmique. Puis nous proposons une formulation de type Wasserstein qui permet d'analyser efficament le cas de la dimension 1 d'espace. Cette nouvelle approche permet de mieux appréhender la géométrie du modèle de Keller-Segel. Ce travail est le fruit de collaborations avec Adrien Blanchet, José Carrillo, et Hossein Khonsari.