Nous donnons plusieurs généralisations du théorème suivant de Clarke, (sur l'inversion locale des fonctions lipschitziennes) : soit $f$ une fonction d'un ouvert de $R^n$ dans $R^n$ si l'enveloppe convexe fermée des limites (en un point $x$) des différentielles ne contient pas des matrices singulières alors $f$ est inversible au voisinage de $x$. Nos résultats concernent essentiellement le cas des fonctions définissables dans une structure o-minimale. La preuve du résultat principal utilise quelques notions d'analyse convexe. La généralisation au cas de dimension infinie reste largement ouverte.
Soit X une surface algébrique réelle connexe compacte rationnelle non-singulière. Notons Diff_alg(X) le groupe des difféomorphismes algébriques de X dans X. Le groupe Diff_alg(X) agit diagonalement sur X^n pour tout entier naturel n. Nous montrons que cette action est transitive pour tout n. Comme application, nous donnons une nouvelle preuve plus simple du fait que deux surfaces algébriques réelles connexes compactes rationnelles non-singulières sont algébriquement difféomorphes si et seulement si elles sont homéomorphes en tant que surfaces topologiques.
Nous nous intéressons dans cet exposé au problème suivant : nous considérons une triangulation T_n qui converge au sens de Hausdorff et en normales vers une surface S régulière de classe C^2. Sur chaque triangulation T_n nous considérons une courbe géodésique C_n qui converge vers une courbe C de S. Il est alors naturel de se demander si C est une géodésique de S. Dans le cas où C_n est un plus court chemin, il est connu que C est aussi un plus court chemin. Nous allons montrer que ce résultat ne tient plus si l'on suppose que C_n est une géodésique sans être un plus court chemin. Cependant, en faisant des hypothèses supplémentaires sur la vitesse de convergence des normales et sur les longueurs des arêtes, il est possible de garantir que la courbe limite C est une géodésique. Ce travail peut ensuite s'appliquer à certains schémas de subdivision. Il permet ainsi de valider un algorithme existant de V. Pham-Trong et al. en 2001, qui permet de calculer des géodésiques (qui ne sont pas forcément des plus court chemins) sur une suite de surfaces de subdivision.
Comessatti a démontré qu'une surface rationnelle réelle est soit non orientable, soit difféomorphe à une sphère ou un tore. Réciproquement, si S est une surface non orientable ou difféomorphe à une sphère ou un tore, il existe une surface rationnelle réelle X difféomorphe à S. Dans cet exposé on démontre que si Y est une autre surface rationnelle réelle difféomorphe à S, alors X et Y sont biregulièrement isomorphes. Autrement dit, les surfaces non orientables, la sphère et le tore ont exactement un seul modèle algébrique rationnel réel à isomorphisme birégulier près.
On borne le nombre de points fixes d'un automorphisme d'une courbe algébrique réelle en fonction du genre de la courbe et du nombre de composantes connexes de la partie réelle de la courbe. On utilise cette borne pour calculer l'ordre maximum de certains groupes d'automorphismes de courbes algébriques réelles.
Une classe effective dans une variété symplectique de dimension quatre est une classe d'homologie de degré deux qui est réalisée par une courbe J-holomorphe (éventuellement réductible) pour toute structure presque complexe positive sur la forme symplectique. Je montrerai que les classes effectives sont orthogonales aux tores lagrangiens pour la forme d'intersection.
Soit W -> X une variété projective non singulière réelle de dimension 3 fibrée en courbes rationnelles. On suppose que W(R) est orientable. Soit M une composante connexe de W(R). D'après Kollár, M est alors essentiellement une variété de Seifert ou une somme connexe d'espaces lenticulaires. Soit n un entier définit de la façon suivante : Si g : M -> F est une fibration de Seifert, on note n le nombre de fibres multiples de g. Si M est une somme connexe d'espaces lenticulaires, on note n le nombre d'espaces lenticulaires.
Théorème
Lorsque X est une surface géometriquement rationnelle, n est majoré par 4.
Ce résultat répond par l'affirmative à une question de Kollár qui avait montré en 1999 que n était majoré par 6. On déduit ce théorème d'une analyse fine de certaines surface de Del Pezzo singulières avec singularités Du Val.
Un polytope convexe d'un espace euclidien est régulier si son groupe d'isométries agit transitivement sur l'ensemble de ses drapeaux. Depuis Schläfli (1901), on sait classifier ces polytopes réguliers. Si on suppose que le polytope est à sommets entiers, ou plus généralement sur un réseau, on peut définir les polytopes réguliers relativement au groupe préservant ce réseau (les polytopes Z-réguliers). Récemment Karpenkov a donné une classification de ces polytopes Z-réguliers utilisant la classification de Schläfli. Dans un travail en commun avec Pierre-Louis Montagard, nous retrouvons ce résultat en associant à chaque polytope Z-régulier un système de racines.
Nous allons discuter le problème de comptage des cycles limites pour l'équation de Liénard classique x' = y - P(x) , y' = -x , où P(x) est un polynôme en x. Une compactification convenable de l'espace de tous les systèmes de Liénard nous amène à considérer l'équation du titre.
Considérons une variété M, définissable dans une structure o- minimale A, et munie d'un champ d'hyperplans H, intégrable et définissable dans A. Nous montrons qu'il existe un recouvrement fini de M par des ouverts définissables dans A sur chacuns desquels H induit un feuilletage en hypersurfaces séparantes.
On montre que les ensembles extrémaux du gradient d'une fonction générique lisse sont lisses en dehors des points critiques de la fonction. Aux points critiques, les branches lisses des ensembles extrémaux sont tangents aux espaces propres du hessien. De plus, la fonction est de Morse sur son ensemble extrémal.
On verra comment la positivité de certains opérateurs sur une surface riemannienne permet d'obtenir des informations sur le type conforme de la surface. Ce type de résultat trouve son origine dans l'étude des surfaces minimales stables.
Travail en commun avec D. Cohen-Steiner (INRIA Sophia-Antipolis) et A. Lieutier (Dassault Systèmes). Dans cet exposé, nous aborderons la question de la ``stabilité de la topologie'' des sous-ensembles compacts de R^n par perturbation pour la distance de Hausdorff : étant donné deux compacts K et K' dont la distance de Hausdorff est petite, peut-on déduire la topologie de K de celle de K'? En toute généralité, la réponse à cette question est évidemment négative. Cependant, nous verrons que si K appartient a une large classe de compacts (contenant les sous-analytiques), on peut apporter une réponse positive à la question précédente. L'approche adoptée est basée sur quelques propriétés de la fonction distance a un compact que nous rappelerons.
Nous aborderons les récents développements en géométrie énumérative réelle. Combien de courbes algébriques de genre 0 passent par une collection quelconque de points dans le plan P2 ? Une approche actuelle consiste à construire des espaces de modules spécifiques et répondre à cette question par un calcul (co)homologique suivant Kontsevich (en complexe) puis Welschinger (en réel). Dans le cadre réel il est nécessaire de prendre en compte l'orientation de ces espaces et c'est ce point qui sera traité dans la détermination de certaines classes caractéristiques.
Cet exposé est une petite introduction au livre de Jean-Marie Souriau intitulé << Structure des systèmes dynamiques >> (Dunod, 1970) dans lequel l'auteur propose un nouveau cadre pour traiter de la mécanique lagrangienne, cadre malheureusement trop peu connu, même de nos jours... Cette approche a l'avantage de dépasser les divers formalismes classiquement utilisés en mécanique analytique : espace des configurations, espace des phases, équations d'Euler-Lagrange ou équations de Hamilton. En outre, alors que ces derniers points de vue ne permettent même pas de rendre compte du simple principe de relativité galiléenne et sont donc insatisfaisants, l'approche développée par Jean-Marie Souriau montre comment la géométrie symplectique est à l'oeuvre de façon unificatrice dans des branches aussi variées de la physique telles que la mécanique classique, la mécanique statistique ou encore la mécanique quantique.
On considérera la distance associée à la norme de Bombieri sur l'ensemble des polynômes homogènes réels de degré d à n variables. On montrera que si le niveau P=0 est lisse et extremal (on ne peut pas ajouter de composante à P=0 sans changer le degré) alors la distance au discriminant réel (l'ensemble des polynomes Q réels avec au moins une singularité réelle) est min{ |P(x)| ; x dans S^{n-1}, x point critique de P} On en déduira une inégalité entre la taille des composantes connexes de P=0 et la distance au discriminant.