Etant donnée une variété différentiable sous-analytique bornée (non necéssairement compacte), on considère les formes différentiables dont la norme est intégrable sur la variété. Je donnerai des théorèmes qui concernent la cohomologie de ces formes.
(Travail en commun avec J. Blanc) La richesse du groupe d'automorphisme d'une surface algébrique affine (lisse) S est intimement liées à l'existence de familles de courbes rationnelles affines sur S : ainsi, si S admet ``peu'' de courbes rationnelles, la composante neutre de son groupe d'automorphisme est un tore de dimension au plus 2. A contrario, si S est couverte par une famille de courbes rationnelles, alors sont groupe d'automorphisme est en général de dimension infinie, en particulier, non algébrique. Dans cet exposé, on s'intéressera plus en détail au cas des surfaces rationnelles et l'on expliquera comment ont peut préciser un peu la structure de leurs groupes d'automorphisme via l'étude des différents réglagles de ces surfaces par des courbes rationnelles.
La cohomologie de Deligne-Beilinson trouve sa première application physique en mécanique quantique, tout d'abord dans l'effet Aharonov-Bohm, puis en fournissant un nouvel éclairage à la procédure de quantification appelée ``Quantification Géométrique''. Très récemment, le rôle fondamental que joue la cohomologie de Deligne-Beilinson dans la compréhension de la détermination d'invariants de liens dans les théories de Chern-Simons abéliennes a été mis en évidence. Elle permet notamment de faire apparaitre naturellement la quantification des différentes charges (niveau k de la théorie de Chern-Simons et charges des boucles), d'interpréter la procédure de régularisation par « framing », et de calculer les invariants de liens de manière non-perturbative. De plus, ces méthodes s’étendent directement aux cas des variétés compactes sans bord, avec ou sans torsion, de dimension 4n+3 et leurs (2n+1)-liens.
Soit M ⊂ R^n une sous-variété analytique lisse. Si on note d(x, M) la distance euclidienne de x à M , alors il existe un voisinage U ⊃ M tel que pour tout x ∈ U on ait d(x, M ) = ||x−m(x)|| pour un unique point m(x) ∈ M et la fonction m : U → M qui en résulte est analytique. Ce simple fait classique et utile sera le point de départ de l'exposé dans lequel nous essayerons de répondre à la question suivante : qu’advient-il si on permet à M d’avoir des singularités ? Autrement dit, on tâchera d’obtenir un résultat similaire dans le cas où M est un ensemble sous-analytique compact ou encore définissable dans une structure o-minimale.
L'objet de cet expose est de montrer comment certaines techniques issues de l'analyse des series divergentes peuvent etre utilisees pour obtenir la o-minimalite de certaines solutions d'equations differentielles. Partant d'une solution non-oscillante Y(x) d'un systeme de la forme x^(p+1)Y'=F(x,Y) dont le developpement en 0 est divergent, on montrera comment l'etude des phenomenes de stokes associes aux resommations de ce developpement permet dans certains cas d'obtenir une propriete de forte transcendance analytique, connue pour impliquer la o-minimalite. Les idees presentees proviennent de travaux en commun avec J.-P. Rolin, et avec F. Sanz et P. Speissegger.
We will show how to construct partition and n-point functions for vertex operator (super) algebras on genus two Riemann surfaces.
Dans cet exposé, j'essaierai de présenter les groupes d'automorphismes (ou difféomorphismes birationnels) de surfaces réelles et de décrire ceux qui ont une action très transitive sur les points de la surface. Les surfaces les plus importantes dans ce contexte sont les fibrations en coniques dont la partie réelle a un petit nombre de composantes connexes. Il s'agit d'un travail récent effectué en collaboration avec Frédéric Mangolte.
Soit X un variété irréductible et f ∈ k[X] une fonction régulière. On peut construire un variété Susp(X,f) de dimension dim X+1 dite une suspension. Cette construction conserve certaines propriétés de X. Comme application, on construit une suite de variétés affines X telles que le groupe des automorphismes algébriques Aut(X) agit sur reg X m-transitivement (travail en commun avec I. Arzhantsev et M. Zaidenberg).
Les fibrés en tores au dessus du cercle sont classifiés par les difféomorphismes du tore sur lui-même. Si le difféomorphisme est hyperbolique, nous montrons qu'un tel fibré ne peut pas être plongé dans le lieu réel d'un fibré algébrique en surfaces rationnelles, ce qui réponds par l'affirmative à une conjecture de János Kollár. (Travail en collaboration avec Jean-Yves Welschinger.)
Les nœuds isotopes sont cobordants, mais la réciproque est fausse en général. Dans un premier temps nous redonnerons les définitions et propriétés élémentaire utiles à l'étude du cobordisme des nœuds fibrés. Ensuite, après avoir expliqué les classifications connues des nœuds fibrés à cobordisme près, nous étudierons en détails les classes de cobordisme de certaines singularités.
Les courbes sur une variété sont apparues ces vingt dernières années comme un outil très efficace pour étudier les propriétés géométriques de la variété. On peut même, dans certains cas, déterminer complètement sa géométrie ; on obtient ainsi de nouvelles caractérisations des espaces projectifs et des quadriques lisses.
Given a semialgebraic set S, we study the ring B of polynomials that are bounded on S. The size of B can be seen as a measure for the ``compactness'' of S. In general, B is not a finitely generated R-algebra. In this talk, we will discuss necessary and sufficient conditions for B to be finitely generated. In particular, we show that B(S) is finitely generated if S is of dimension at most 2 and sufficiently regular. If time permits, we will also address some applications to certificates of positivity. (joint work with Claus Scheiderer)
Que peut-on dire du spectre de la somme $A+B$ de deux matrices hermitiennes si l'on ne connait que les spectres de $A$ et de $B$ ? Depuis 1912, cette question a été abordée tour à tour par des méthodes d'algèbre linéaire, de géométrie symplectique, de combinatoire, de géométrie immobilière, de géométrie algébrique, de théorie des représentations des groupes ou des carquois... Nous présenterons dans cet exposé l'interprétation de cette question en termes de théorie des représentations du groupe ${rm GL}_n({mathbb C})$. Ceci nous conduira à des généralisations naturelles et utiles. Nous présenterons ensuite les progrès récents permis par la géométrie algébrique.
Etant donné un germe de surface complexe à singularité isolée, son bord est une variété compacte de dimension 3 portant une orientation et une structure de contact canoniques. La théorie des déformations de la singularité fournit un nombre fini, à difféomorphismes près, de remplissages de Stein de ce bord de contact, les fibres de Milnor de la singularité. C'est un problème très largement ouvert de décrire ces fibres de Milnor parmi les remplissages de ce bord de contact. Je décrirai l'état de l'art concernant ce problème, et en particulier mes contributions faites en collaboration avec András Némethi.
L’indice radial d’une 1-forme sur un ensemble singulier est une généralisation de l’indice de Poincaré-Hopf. On considère différentes classes d’ensembles semi-analytiques fermés dans $\mathbb{R}^n$ qui contiennent $0$ dans leur lieu singulier et nous relions l’indice radial d’une 1-forme en $0$ sur ces ensembles à des indices de Poincaré-Hopf en $0$ de champs de vecteurs définis sur $\mathbb{R}^n$.