L'étude des sensibilités de la solution d'une EDP par rapport aux paramètres et à la donnée frontière est un problème important du point de vue théorique et pratique. Je m'intéresse en particulier à l'existence d'incertitudes d'origine statistique (donc aléatoire) sur les paramètres et la donnée frontière. Du point de vue théorique, ce travail est basé sur la théorie des erreurs par formes de Dirichlet, développé par Nicolas Bouleau, qui propose un cadre rigoureux pour étudier le problème de transmission des incertitudes aléatoires. La première partie de l'exposé sera donc une présentation générale de cette approche, je vais souligner les liens avec les statistiques ainsi que la mise en pratique des outils dans les cadre des EDP. Dans une deuxième partie je vais présenter un exemple simple, l'équation de la chaleur, et montrer les premiers résultats intéressants. Enfin, je vais présenter l'application dans le cadre des EDP non-lineaires en prenant le cas des équations de Saint-Venant.
On étudie l anneau des fonctions rationnelles qui se prolongent par continuité sur R^n. Ces fonctions ont fait l'objet d'un article récent de Kollar. On établit plusieurs propriétés de cet anneau en particulier le Nullstellensatz. On caractérise ensuite les idéaux premiers de cet anneau a travers leurs lieux d'annulation. C'est un travail en commun avec G. Fichou, J. Huisman et F. Mangolte.
Let $(X,G)$ be a space of orderings, let $G_0$ be a subgroup of index $2$ in $G$, $-1 in G_0$, and let $X_0$ denote the set of restrictions $X restriction G_0$ of elements of $X$ (viewed as characters on $G$) to characters on $G_0$. We search for necessary and sufficient conditions on $G_0$ for $(X_0,G_0)$ to be a quotient of $(X,G)$. In particular, we discuss the case when $(X,G)$ is the space of orderings of the field $Q(x)$. The talk is intended for a broad audience and all definitions necessary to follow the exposition will be explained in details. This is joint work with Murray Marshall.
Les « systèmes d'interaction » étaient à l'origine un moyen de représenter une notion de « jeux » en théorie des types. On obtient de cette manière une catégorie de jeux et de simulations qui modélise la logique linéaire différentielle. De manière assez surprenante, la dynamique ne joue aucun rôle dans la définition de composition des stratégies ! Cette notion de jeux existe sous des noms différents : « containers » (Ghani, Altenkirch, Hancock, ...) ou « foncteurs polynomiaux » (Hyland, Kock, Gambino, ...). Ce qui change ici est la notion de morphisme, plus générale que dans la littérature existante. Après une petite introduction, je montrerais les liens entre ces polynômes (point de vue intentionnel) et les foncteurs associés (point de vue extensionnel). Je construirais ensuite le modèle de (D)ILL en insistant sur l'interprétation en termes de jeux et les similarités formelles avec le modèle « dégénéré » des transformateurs de prédicats. Je ne ferais probablement aucune preuve, mais je mentionnerais quand même l'outil important, à savoir le langage interne des catégories localement cartésiennes fermées (càd la théorie des types dépendants)...
Fluides vitreux, sutures craniofaciales, diffusion réactive : quelques contributions à l'étude de ces systèmes multi-échelles ou singuliers.
On muni les tuples d'ensembles d'entiers (X1, ..., Xn) de l'ordre suivant : (X1, ..., Xn) < (Y1, ..., Yn) si les Xs ont plus de « sections non-ordonnées » que les Ys. L'équivalence engendré par ce préordre est très simple, mais la preuve, bien qu'élémentaire, l'est moins (il s'agit d'un petit casse-tête amusant...). Je caractériserais cette équivalence (avec la preuve) ainsi que les liens entre cet ordre et l'inclusion toute simple. La preuve utilise la notion de fonction booléenne strictement croissante, qui semble ne pas apparaitre souvent dans la littérature. Je montrerais quelques unes de leurs propriétés. Pré-requis : notion d'ordre, de permutation, de quotient. (niveau L1)
Dans cet exposé, on s’intéresse à la propagation dans un gaz moléculaire de champs électromagnétiques intenses et courts. Dans ce régime, les modèles classiques perturbatifs de type onde/Schrödinger non-linéaires étant non valides, un modèle micro-macro Maxwell- Schrödinger été ́établi. Le champ électromagnétique est modélisé par les équations de Maxwell macroscopiques, couplées (via une approche Particle-In-Cell) avec des équations de Schrödinger quantiques dépendantes du temps. Cette description ab-initio non-perturbative de la réponse du gaz au champ, permet d’inclure précisément les non-linéarités et harmoniques d’ordre élevé, ainsi que la génération de plasma d'électrons libres. Après une discussion sur les propriétés mathématiques du modèle, on s’intéressera à sa (coûteuse) discrétisation, et aux moyens proposés pour optimiser cette discrétisation (adaptation de maillage par MRA, conditions limites artificielles, etc). Finalement, on présentera des résultats numériques illustrant le bon comportement du modèle (auto-focalisation, défocalisation dû au plasma/non-linéariés d’ordre élevé).
Nous considérons le problème d'ajustement suivant : étant donné un ensemble de N points dans une image numérique en dimension d (i.e. Z^d), trouver un hyperplan discret qui contient le plus grand nombre possible de points. En utilisant un modèle discret pour l'hyperplan, nous montrerons que nous pouvons générer tous les ensembles de consensus possibles pour ajuster le modèle, et présenterons une méthode exacte pour d=2,3 dont la complexité en temps est O(N^d log N) et celle en espace est O(N). Ces complexités ont naturellement motivé l'amélioration. Nous avons ensuite observé que le problème est 3SUM-difficile pour d=2 de sorte qu'il ne peut probablement pas être résolu exactement avec une complexité meilleure que O(N^2), et il est conjecturé que la complexité optimale en dimension d est en fait O(N^d). Nous proposons donc deux méthodes approximatives de complexité linéaire en temps.
Étant donné un sous-ensemble analytique ou algébrique réel d'un ouvert de C^n, il est naturel de se demander dans quelle mesure il hérite de la structure complexe de l'espace ambiant. Je présenterai une série de résultats concernant l'aspect modéré ou non de différentes notions mesurant la ``complexité'' d'un tel ensemble réel. (Travail en commun avec J. Adamus et R. Shafikov, the University of Western Ontario)
Dans cet exposé, nous allons présenter des techniques pour paver le plan et l’espace par translation d’une tuile. Nous reviendrons sur le théorème de Beauquier-Nivat qui caractérise les polyominos qui pavent le plan par translation. Puis, nous tenterons de généraliser ce théorème en dimension 3. Nous montrerons alors les 5 polytopes convexes de Fedorov qui sont des modèles de pavages de l’espace. Nous nous attarderons sur le plus complexe de ces polytopes qui se révèle être un permutoèdre. Au travers d’exemples provenant de la théorie des pavages mais aussi de la cristallographie et de la métallurgie, nous verrons les différents pavages de l’espace et les réseaux associés. Nous focaliserons ensuite sur le pavage de l’espace avec des pièces non-convexes et des polycubes qui pavent l’espace avec plus de faces que les solides de Fedorov en ont. Puis, nous parlerons des pavages classiques apériodiques du plan et de l’espace (comme ceux de Penrose, Robinson, Wang, Danzer). Enfin, nous étudierons le problème ouvert du pavage apériodique de l’espace par des copies d’une seule tuile.
It is well known that for general evolution problems it is not necessarily possible to infer linear stability from spectra. Known counterexamples include hyperbolic PDEs. A possible way out of this is to investigate criteria in addition to the spectrum which would imply stability. Such criteria are typically based on a WKB type approximation for short wave disturbances. In recent work by Shvydkoy, such criteria, originally developed for the Euler equations, are generalized to a class of equations he calls ``advective.'' It is proved that creeping flows of nonlinear viscoelastic fluids of Maxwell type fall into this category. Shvydkoy's results are for problems with periodic boundary conditions. If homogeneous Dirichlet conditions are imposed on the boundary, it can be shown that wall modes are spectrally determined, and stability can still be decided on the basis of Shvydkoy's criterion. In addition to the spectrum of the linearized operator, this involves determining the stability of a variable coefficient ODE system along each streamline of the base flow. It is also proved that linear stability implies nonlinear stability for small perturbations.
Between the important thing, when we deal with a type or a formula A of a system of typing that satisfies the strong normalization S.N., is to build a set of terms that satisfies 'a term in the set corresponding to A is equivalent to say that t is of type A. Unfortunally it is impossible to have this equivalency because of S.N., so the work take another formulation to escape this problem and it becomes 'a term in the set corresponding to A is equivalent to say that t is in relation with t' which is of type A'. many studies having this form where been published for many systems and relations. My work will be around the simply typed system in lambda mu calculus.
La définition des différentes K-théories suit le schéma suivant. Etant donné un objet C, on lui associe d'abord une catégorie AC qui est « structurée » (symétrique monoïdale, exacte, Waldhausen, …). On applique ensuite une « machine » de K-théorie sur AC pour obtenir finalement le spectre de K-théorie de l'objet C. Par exemple, on associe à un anneau R sa catégorie de modules projectifs de type fini pour obtenir la K-théorie usuelle de R. Dans ma thèse, je me suis intéressé à la première étape de ce processus. Plus précisément, je me suis posé les questions suivantes. Quels types d'objets admettent une notion intéressante de K-théorie ? Quelles catégories structurées devrait-on associer à ces objets pour obtenir une information K-théorique à leur sujet ? Finalement, comment cette correspondance prend-elle en compte les morphismes de ces objets ? Je vais décrire un cadre conceptuel qui permet de traiter de manière unifiée de nombreux exemples et qui apporte de nouveaux outils pour les étudier. Je prendrai l’exemple de la K-théorie des schémas comme fil conducteur.
Attention: jour inhabituel !!
We present here a strongly normalizable extension of second order functional arithmetics (AF2) with subtyping, that allows to program with recursive types in the pure lambda-calculus (i.e., without constant). It assigns types to the Scott encoding of algebraic datatypes and to the recursor on those types. Thus, it answers the open question of finding a strongly normalizing type system which allows to program on Scott numerals. One of the key features of the system is to have no more typing rules than AF2. The new rules are only subtyping rules. The first-order layer is used to prove the correction of extracted programs. It is also worth noticing that in this system union type (both finite and infinite) are definable and still the system enjoys subject-reduction.
Spatial computing aims at providing a scalable framework where computation is distributed on a uniform computing medium and communication happen locally between nearest neighbors. We study the particular framework of cellular automata, using a regular grid and synchronous update. As a first step towards generic computation, we propose to develop primitives allowing to structure the medium around a set of particles. We consider three problems of geometrical nature: moving the particles on the grid in order to uniformize the density, constructing their convex hull, constructing a connected proximity graph establishing connection between nearest particles. The last two problems are considered for multidimensional grid while uniformization is solved specifically for the one dimensional grid. The work approach is to consider the metric space underlying the cellular automata topology and construct generic mathematical object based solely on this metric. As a result, the algorithms derived from the properties of those objects, generalize over arbitrary regular grid. We implemented the usual ones, including hexagonal, 4 neighbors, and 8 neighbors square grid. All the solutions are based on the same basic component: the distance field, which associates to each site of the space its distance to the nearest particle. While the distance values are not bounded, it is shown that the difference between the values of neighboring sites is bounded, enabling encoding of the gradient into a finite state field. Our algorithms are expressed in terms of movements according to such gradient, and also detecting patterns in the gradient, and can thus be encoded in finite state of automata, using only a dozen of state.
In this talk, we discuss how to model in a finite way the semantics of resource-allocating interactive programs. Surprisingly, in doing so, the notion of behavioural symmetry arises from the framework, and is necessary to recover canonical models. Behavioural symmetry expresses properties relating the semantics of a program and the available resources at each state, e.g. ``the distinguished variables x and y have the same observable effect, and swapping them does not affect the semantics of the program''. Labelled transition systems (LTSs) have been successfully used to model the semantics of interactive programming languages. Their natural equivalence relation, the so-called bisimilarity, is a fundamental tool for the study of such languages. However, when resources (e.g. memory locations) can be allocated and de-allocated along transitions, bisimilarity becomes a non-standard notion (cf. the pi-calculus). The categorical abstraction of coalgebras generalises LTSs and has an associated, general definition of behavioural equivalence, coinciding with bisimilarity for LTSs. Presheaves generalise classical sets; elements of presheaves have intensional features such as interfaces, or resources, and operations on them. By using coalgebras in a category of presheaves, bisimilarity in the presence of resource allocation is recovered from the standard categorical definition. However, the obtained transition systems become infinite state machines because of fresh resources. An equivalence between categories of presheaves and of families recovers a finite representation for memory-bound programs. An associated notion of symmetry is necessary for the equivalence to hold, and for final systems (=canonical models) to exist, giving rise to behavioural symmetry.
Cet exposé, faisant suite au précédent sur les préfaisceaux, est une introduction aux faisceaux, un autre important outil catégorique dérivé des premiers. Je rappellerai le lemme de Yoneda, puis définirai les notions de crible, topologie de Grothendieck et enfin faisceau, en m'appuyant sur des exemples et contre-exemples. Si le temps le permet, je survolerai le théorème du faisceau associé, qui construit un faisceau à partir d'un préfaisceau arbitraire (si Christophe est là, on parlera de PML). Enfin, peut-être, je raconterai en deux mots mon travail avec Damien Pous, qui repose sur une description en termes de faisceaux des stratégies dites ``innocentes'' en sémantique des jeux.