Can we build a program that understands informal mathematical text and can we mechanically verify it's correctness? MathNat project aims at being a first step towards answering this question. We develop a controlled language for mathematics (CLM), which is a precisely defined subset of English with restricted grammar and dictionary. Like textbook mathematics, CLM supports some complex linguistic features to make it natural and expressive. A number of transformations are further applied on it to completely formalise it. In this presentation, I'll give an overview of this work and report the current state and future directions. Web: http://www.lama.univ-savoie.fr/ humayoun/phd/mathnat.html
La cohomologie de Deligne-Beilinson trouve sa première application physique en mécanique quantique, tout d'abord dans l'effet Aharonov-Bohm, puis en fournissant un nouvel éclairage à la procédure de quantification appelée ``Quantification Géométrique''. Très récemment, le rôle fondamental que joue la cohomologie de Deligne-Beilinson dans la compréhension de la détermination d'invariants de liens dans les théories de Chern-Simons abéliennes a été mis en évidence. Elle permet notamment de faire apparaitre naturellement la quantification des différentes charges (niveau k de la théorie de Chern-Simons et charges des boucles), d'interpréter la procédure de régularisation par « framing », et de calculer les invariants de liens de manière non-perturbative. De plus, ces méthodes s’étendent directement aux cas des variétés compactes sans bord, avec ou sans torsion, de dimension 4n+3 et leurs (2n+1)-liens.
Soit M ⊂ R^n une sous-variété analytique lisse. Si on note d(x, M) la distance euclidienne de x à M , alors il existe un voisinage U ⊃ M tel que pour tout x ∈ U on ait d(x, M ) = ||x−m(x)|| pour un unique point m(x) ∈ M et la fonction m : U → M qui en résulte est analytique. Ce simple fait classique et utile sera le point de départ de l'exposé dans lequel nous essayerons de répondre à la question suivante : qu’advient-il si on permet à M d’avoir des singularités ? Autrement dit, on tâchera d’obtenir un résultat similaire dans le cas où M est un ensemble sous-analytique compact ou encore définissable dans une structure o-minimale.
Dans le cas des EDP stochastique, les solutions sont définies sur un espace de dimension infinie et les techniques utilisées pour des équations stochastiques ordinaires - fonction de Lyapunov, hypoellipticité, compacité du semi groupe de transition etc.- ne peuvent pas être appliquées ou nécessitent d'être adaptées. Dans cet exposé j'illustrerai des méthodes utilisées pour l'étude des mesures invariantes pour les EDP stochastiques et leurs applications à des cas spécifiques: dynamique de populations, équation de Burgers, équations de Navier-Stokes etc.
L'objet de cet expose est de montrer comment certaines techniques issues de l'analyse des series divergentes peuvent etre utilisees pour obtenir la o-minimalite de certaines solutions d'equations differentielles. Partant d'une solution non-oscillante Y(x) d'un systeme de la forme x^(p+1)Y'=F(x,Y) dont le developpement en 0 est divergent, on montrera comment l'etude des phenomenes de stokes associes aux resommations de ce developpement permet dans certains cas d'obtenir une propriete de forte transcendance analytique, connue pour impliquer la o-minimalite. Les idees presentees proviennent de travaux en commun avec J.-P. Rolin, et avec F. Sanz et P. Speissegger.
We will show how to construct partition and n-point functions for vertex operator (super) algebras on genus two Riemann surfaces.
L'étude la microstructure des matériaux granulaires nécessite souvent de séparer numériquement les grains de leurs voisins. A cause d'effets thermodynamique et mécanique, toute couche de neige non fraîche est dégradée de différentes façons. Le principal problème est donc de choisir une définition géométrique d'un ``grain'' qui soit cohérente avec la physique et la mécanique de la neige. Les images microtomographiques au rayon X de la structure de la neige ne fournissent aucune information directe sur les frontières entre les grains. Pour résoudre ce problème, nous faisons appel à une approche basée sur la géométrie discrète. En travaillant sur la surface de la structure neigeuse, il est possible de calculer sa courbure Gaussienne et moyenne. Muni de ces informations, il devient possible de séparer la surface en deux régions. En utilisant un diagramme de Voronoi, ces régions sont étendues à l'objet entier. Les voxels dans la région négative sont retirés de l'image, fournissant ainsi une segmentation en objets déconnectés. Ces objets sont alors utilisés comme graines pour un second diagramme de Voronoi.
Les travaux que je présenterai sont ceux effectués lors de ma thèse. Ils s'inscrivent dans le cadre de la géométrie discrète, une discipline ayant pour objectif de définir un cadre théorique pour transposer dans Z^n les bases de la géométrie euclidienne -- les notions discrètes définies étant le plus proche possible des notions continues que nous connaissons (telles que distance, droite, convexité, ...). De nombreuses études ont déjà été menées au sein de cette discipline, pour en définir l'espace de travail ainsi que les objets fondamentaux manipulés et en saisir leurs propriétés. Des algorithmes de reconnaissance pour ces primitives discrètes ont été développés et utilisés dans des problèmes comme la reconnaissance de formes, l'extraction de caractéristiques géométriques et bien d'autres encore. Néanmoins, la majorité des études ont été effectuées en se reposant sur la régularité des structures fondamentales de l'espace discret, souvent issues de définitions arithmétiques, et ces critères de régularité sont généralement essentiels aux différents algorithmes développés. Or, en pratique, les objets manipulés sont très souvent bruités par les méthodes d'acquisition (scanners, IRM, ...) qui suppriment ce caractère régulier des objets. Dans cet exposé, nous nous intéressons aux objets discrets 3D et proposons une primitive discrète, le morceau flou de plan discret, destinée à apporter plus de flexibilité dans les traitements, afin de concevoir des algorithmes capables de fournir des résultats satisfaisants aussi bien sur des objets réguliers que non réguliers. Avec l'emploi de cette nouvelle primitive discrète, nous définissons différents estimateurs de caractéristiques géométriques au bord d'objets discrets et montrons comment les utiliser dans des problèmes de segmentation et de polyédrisation d'objets discrets possiblement bruités.
Je vais vous présenter mes activités de recherche de thèse et de post-doc qui peuvent être regroupées sous le thème général de la modélisation géométrique et topologique. En particulier, je me suis intéressée au problème de la génération de maillages surfaciques et volumiques à partir d'images 3D multi-labels.
Dans cet exposé, j'essaierai de présenter les groupes d'automorphismes (ou difféomorphismes birationnels) de surfaces réelles et de décrire ceux qui ont une action très transitive sur les points de la surface. Les surfaces les plus importantes dans ce contexte sont les fibrations en coniques dont la partie réelle a un petit nombre de composantes connexes. Il s'agit d'un travail récent effectué en collaboration avec Frédéric Mangolte.
L'étude de la combinatoire des mots a mené à la caractérisation de nombreux langages. Certains admettent (ou sont fondés sur) une interprétation géométrique. En particulier, une condition nécessaire et suffisante à la convexité discrète s'énonce en termes de mots de Lyndon et de Christoffels. À partir de cette caractérisation, vient naturellement la notion de convexité minimale. Ces ``mots non-convexes minimaux'' possèdent une structure combinatoire particulière et sont reliés aux MLP (minimum length polygon).
L'axe médian est un outil de représentation d'objets binaires par ensemble de boules, et est couramment utilisé en analyse d'images. Soit (E,d) un espace métrique, et S une forme binaire incluse dans E. Une boule B (pour la distance d) est dite maximale dans S si elle est incluse dans S mais n'est incluse dans aucune autre boule incluse dans S. L'Axe Médian de S est défini comme l'ensemble des boules maximales de S [Blum 67, Pfaltz et Rosenfeld 67]. Nous présentons plusieurs nouveaux résultats concernant le calcul de l'axe médian, dans le cas de la géométrie discrète (E=Z^n), pour la distance euclidienne et les normes de chanfrein (discrétisation dans Z^n des jauges polyédrales). Nous procédons par recherche locale : nous donnons des caractérisations de voisinages de test suffisants pour calculer l'axe médian. Nous verrons comment ces voisinages dépendent de la distance considérée, ainsi que de l'épaisseur de la forme étudiée. En particulier, nous établissons des liens avec des outils bien connus de l'arithmétique, tels que les suites de Farey et le problème de Frobenius.
Soit X un variété irréductible et f ∈ k[X] une fonction régulière. On peut construire un variété Susp(X,f) de dimension dim X+1 dite une suspension. Cette construction conserve certaines propriétés de X. Comme application, on construit une suite de variétés affines X telles que le groupe des automorphismes algébriques Aut(X) agit sur reg X m-transitivement (travail en commun avec I. Arzhantsev et M. Zaidenberg).
Dans cette présentation, nous nous intéressons à la segmentation d'images, et plus particulièrement à la segmentation de catégories d'objets. Si les modèles d'apparence par sac-de-mots donnent à ce jour les meilleures performances en terme de classification d'images et de localisation d'objets, ils ne permettent pas de segmenter précisément les frontières des objets. Parallèlement, les modèles basés sur des champs de Markov (MRF) utilisés pour la segmentation d'images se basent essentiellement sur les frontières et permettent une régularisation spatiale, mais utilisent difficilement des contraintes globales liées aux objets, ce qui est indispensable lorsqu'on travaille avec des catégories d'objets dont l'apparence peut varier significativement d'une instance à l'autre. Nous verrons comment combiner ces deux approches. Notre approche comporte un mécanisme basé sur la détection d'objets par sac-de-mots qui produit une segmentation grossière des images, et simultanément, un second mécanisme, lui basé sur un MRF, produit des segmentations précises. Notre approche est validée sur plusieurs bases publiques de référence, contenant différentes classes d'objets en présence de fonds encombrés et présentant de larges changements de points de vue.
Je présenterai deux ordres que l'on peut définir sur les pavages: un premier basé sur la dérivée topologique (le rang de Cantor-Bendixson) et un second plus combinatoire basé sur les motifs que l'on peut trouver dans un pavage. Ces deux ordres, étudiés indépendamment, permettent d'obtenir des propriétés sur les ensembles de pavages. Nous verrons comment combiner les deux pour obtenir des résultats plus précis: sous l'hypothèse de n'avoir qu'une infinité dénombrable de pavages possibles nous arrivons à montrer qu'il existe des pavages n'ayant qu'une seule direction de périodicité; nous arrivons aussi à caractériser les ensembles de pavages ayant la cardinalité du continu.
We present some numerical methods to solve control problems in the coefficients where the cost functional may depend on the gradient of the state non linearly. The main difficulty comes from the fact that the relaxed functional cost is not explicitly known. We prove some convergence results just using an upper or a lower approximation of this relaxed functional.
We consider a control problem in the coefficients for an elliptic linear equation where the cost functional is non-linear in the gradient of the function state. The control variables are the coefficients of the diffusion matrix. This type of problems arises in Optimal Design of Composite Materials. It is well known that they have not a solution in general. Here we use the homogenization method to obtain a relaxed formulation.