En 1998, Pestov montra que le groupe G des automorphismes des rationnels (vus comme ensemble ordonné) est extrêmement moyennable, c'est-à-dire que toute action continue de G sur tout espace topologique compact admet un point fixe. Pour ce faire, il démontra que la propriété énoncé ci-dessus est équivalente au théorème de Ramsey fini. Ce résultat constitue le point de départ des travaux de Kechris, Pestov et Todorcevic, qui établirent en fait qu'il s'agit là d'un phénomène général liant théorie de Ramsey pour certaines classes de structures finies (classes de Fraïssé) et moyennabilité extrême pour certains groupes topologiques. Le but de cet exposé sera de présenter la correspondance de Kechris-Pestov-Todorcevic ainsi que certaines de ces conséquences.
It is a well accepted point of view that the flow of amorphous media is realized via local plastic events that correspond to small rearrangements in the disordered structure. When such materials are actively deformed, the local plastic events will organize into avalanches, that span the whole system in the limit of small strain rates. In this talk I will describe how this cooperative behavior influences diffusion in the sheared material and I will show a direct relation between the diffusion coefficient and the dynamical susceptibility. Considering experiments this means that the measure of the often more easily accessible diffusion coefficient of tracer particles in a sheared disordered material can provide detailed inside into its microscopic rheology.
Soit M un ensemble symétrique de R^n (invariant sous permutations de coordonnées), et soit lambda^{-1}M l'ensemble des matrices symétriques dont les valeurs propres sont dans M. Alors lambda^{-1}M est une variété C2, C^{infty}, analytique, algébrique si M l'est. Travail en collaboration avec: J. Malick (Grenoble), H. Sendov (London, Canada)
Cet exposé est une introduction aux préfaisceaux, un important outil catégorique. Je reprendrai du début: catégories, foncteurs, transformations naturelles, en considérant de nombreux exemples petits et gros. Je concluerai par le lemme de Yoneda en donnant l'exemple des graphes.
Les valuations convexes jouent un rôle important en géométrie convexe. Récemment, une riche structure algébrique sur l'espace des valuations continues et invariantes par translations a été découverte. Le produit, la convolution et la transformée de Fourier des valuations sont liés à des formules géométriques comme les formules cinématiques.
Dans ce travail commun avec D. Cohen-Steiner et F. Chazal, nous introduisons et étudions les mesures de bord d'un compact de l'espace Euclidien, qui sont étroitement reliées aux mesure de courbure introduites par Federer -- une notion courbure extrinsèque généralisée à une classe assez large de compacts de l'espace Euclidien. Notre but original est de faire de l'inférence géométrique, c'est-à-dire d'estimer des propriétés géométriques d'un 'objet' qu'on ne connaît qu'à travers un échantillon fini. Notre résultat principal est un théorème de stabilité qui permet d'utiliser les mesures de bord dans ce cadre: la mesure de bord d'un compact change peu lorsque celui-ci est remplacé par une approximation Hausdorff --- sans aucune hypothèse de régularité sur aucun des deux compacts. Ce théorème est quantitatif et optimal en un certain sens. En corollaire, on montre qu'il est possible d'approcher les mesures de courbure de Federer d'un compact (dans la classe considérée par Federer) à partir d'un échantillon fini suffisamment Hausdorff-proche. Les aspects algorithmiques du calcul seront brièvement discutés.
IR' is a powerful principle for in the context of dependent type-theory, for defining simultaneously a set U *inductively*, with a function T : U -> D *recursively*. D may belarge', eg the type of Sets, and a paradigm example is a universe of (codes for) sets. I will try to motivate and illustrate this principle. Using containers (a particular kind of endofunctor on Set), one can distill out the essence of IR in an extremely compact, memorable form. I will try to give a tour of the distillery.
La correspondance de Riemann--Hilbert est un résultat très profond qui donne une équivalence entre la catégorie de certains systèmes d'équations différentiells linéaires et celle de certains faisceaux sur une variété analytique. La première catégorie est de nature analytique et est composée des équations, appelées régulières, avec des conditions de croissance modérée pour les solutions. La deuxième est de nature topologique et combinatoire et est constituée de faisceaux localement constants sur les strates d'une stratification analytique. Le cas irrégulier est beaucoup plus difficile. Il est connu localement en dimension 1 et d'importants résultats ont été très récemment démontrés en dimension supérieure par C. Sabbah, T. Mochizuki et K. Kedlaya. Nous introduirons ces sujets d'une faccon très concrète à travers une suite d'exemples explicatifs. Puis nous introduirons le site sous-analytique et les fonctions holomorphes temps définies par M. Kashiwara et P. Schapira en 2001 se basant sur des travaux de S. Lojasiewicz. Nous expliquerons comment ces nouveaux objets permettent d'améliorer les résultats classiques. La géométrie sous-analytique se révèle etre essentielle et très utile pour définir des invariants globaux en toute dimension. Si le temps le permet, nous expliquerons les relations étroites de ces objets avec le spectre réel défini par M. Coste et M.F. Roy et les espaces de Berkovich et Huber.
Dans cet exposé, je présenterai (sans entrer dans le détail des preuves) une approche métrique de l’étude du spectre du laplacien des hypersurfaces de l’espace euclidien. Le but est d’obtenir des estimées qui ne dépendent pas de la courbure, mais d’ingrédients géométriques plus globaux. Par exemple, l’un de ces résultats, obtenu avec E. Dryden et A. El Soufi permet, comme corollaire, d’estimer le spectre des hypersurfaces algébriques en fonction de leur degré. Un autre, obtenu avec A. El Soufi et A. Girouard, donne des estimations en fonction du rapport isopérimétrique associé à l’hypersurface. Je terminerai en donnant quelques questions ouvertes autour de cette problématique.
(ATTENTION: jour et lieu inhabituels) Une structure presque-riemannienne sur une variété est une généralisation d'une structure riemannienne où les éléments des bases locales orthonormales satisfont la condition de Hörmander et peuvent être colinéaires. On présente une étude des surfaces presque-riemanniennes avec de points de tangence, i.e., points où deux générateurs de la distribution ainsi que leur crochet sont parallèles. En particulier on analyse le cas générique autour d'un point de tangence. Du point de vue global, on démontre un résultat de classification au sens lipschitz des surfaces presque-riemanniennes avec points de tangence ainsi qu'une formule de Gauss--Bonnet.
Dans cet exposé, nous montrerons comment utiliser la combinatoire des mots et la théorie des automates afin d'étudier certaines propriétés arithmétiques des séries de Laurent à coefficients dans un corps fini. En particulier, à l'aide d'une méthode inspirée par un article d'Adamczewski et Cassaigne, nous donnerons une majoration générale de l'exposant d'irrationalité des séries algébriques. Nous illustrerons cette approche à l'aide de quelques exemples.
Soit U une variété algébrique complexe et f:U->C une application régulière. Par application du théorème d'existence des stratifications de Whitney et du théorème de fibration de Thom-Mather, il existe R>0 tel que f:Uf^{-1}(D(0,R))->CD(0,R) est une fibration topologique localement triviale. La fibre de cette fibration est appellée fibre de Milnor à l'infini''. Un invariant classique associé est le spectre de Hodge-Steenbrink à l'infini de f. Nous montrons dans cet exposé comment construire unefibre de Milnor motivique à l'infini'' analogue motivique de la fibre de Milnor à l'infini. Cet objet est construit à partir d'une compactification mais n'en dépend pas. Il permet notamment de retrouver le spectre à l'infini de f. Nous donnerons en particulier, son expression dans le cas d'un polynôme non dégénéré pour son polyèdre de Newton à l'infini.
I shall dust off some work by Bohm, on arithmetical features of combinatory logic. The natural combinators for addition, multiplication, exponentiation and nihilation of Church satisfy some pleasing algebraic laws resembling those of ordinal arithmetic. But they also satisfy and some other ''wild'' laws (resembling nothing arithmetical) in virtue of which they are combinatorially complete. Because of that, they support a notion of logarithm (with respect to a ''base''). I may add some remarks on ''exponentiality'', which says that two ''numbers'' are the same if they have the same behaviour as exponents.
On commencera par introduire la géométrie tropicale, qui est de la géométrie algébrique à saveur combinatoire.Ensuite on expliquera une stratégie tropicale pour démontrer des théorèmes portantsur le nombre de courbes rationnelles sur une hypersurface générale complexe.Puis on se concentrera sur le cas d'une surface quintique dans P^3: H. Clemens a démontré qu'une telle quintique suffisamment générale n'a aucune courbe rationnelle. On expliquera notre progrès vers une démonstration purement tropicale de ce résultat. Nos méthodes suggèrent une voie potentielle vers une démonstration de la célèbre conjecture de Clemens qui prévoit que toute courbe rationnelle sur une quintique générale dans P^4 est rigide.
Des événements pluvieux sur des surfaces agricoles peuvent conduire à du ruissellement de surface. Ce ruissellement peut occasionner des effets indésirables. Au niveau du champ, le ruissellement peut être à l'origine de l'érosion du sol et du transport de polluants. En aval des champs, les constructions humaines peuvent-être dégradées. Afin de prévenir ces effets néfastes, il existe des moyens permettant de contrôler les écoulements d'eau tels que l'utilisation de bandes enherbées. Pour cela, nous devons prévoir les flux en eau à l'aide de simulations numériques. Ce type de problème est modélisé à l'aide du système de Saint-Venant. Nous utilisons un schéma volume fini équilibré basé sur la méthode de reconstruction hydrostatique, couplé avec un traitement semi-implicite du terme de friction. Nous avons effectué des validations de FullSWOF_2D (code de calcul en C++) sur des solutions analytiques, ainsi que sur des mesures expérimentales (INRA d'Orléans) et des mesures de terrain en Afrique (IRD).
La structure des droites discrètes en dimension deux, et par le fait même des mots Sturmiens, est maintenant quelque chose de bien connue. On observe de nombreuses propriétés arithmétiques (reliées, entre autre, aux fractions continues) et combinatoires (équilibre, récurrence, périodes, etc.). Cependant, lorsqu'on passe à la dimension trois... que reste-t-il de ces propriété? En générant des plans discrets à l'aide de substitutions généralisées obtenues par l'algorithme de Jacobi-Perron, on obtient une suite de ``morceaux de plans discrets'' présentant des similitudes avec les mots de Christoffel; ces derniers étant des facteurs particulièrement intéressants des mots Sturmiens.
Les modeles de spinfoam fournissent un formalisme d'integrale de chemin pour la gravite quantique. Ils permettent de definir des amplitudes de transition pour les etats de geometrie quantique de la loop quantum gravity - les spin networks. Ces amplitudes sont construites a partir de techniques de discretization de la relativite generale (Regge calculus) et de theorie de champs topologique (topological BF field theory). Je ferais une revue de tout ce formalisme. Puis je montrerais comment definir les modeles de spinfoam les plus prometteurs et expliquerais quelques unes des voies de recherche actuelles dans ce domaine; en particulier, comment extraire des predictions physiques de ces modeles et ce qu'il faudrait faire pour developper cette theorie.
La modélisation des données boursières est à la base du calcul du prix des différents contrats proposés par les institutions financières. Je présenterai différents modèles mathématiques (modèle de Black-Scholes, modèles à volatilité locale et à volatilité stochastique) utilisés aujourd'hui ainsi que les différentes méthodes de pricing et couvertures d'option, en développant celle basée sur les équations différentielles stochastiques rétrogrades.
Tout le monde aime les automates cellulaires, tout le monde aime les fractales, et l'on sait bien que celles-ci peuvent être produits par ceux-là. Par exemple, le triangle de Sierpinski, comme il s'agit du triangle Pascal modulo 2, est le diagramme espace-temps limite d'un automate cellulaire correspondant à la relation C(n+1,k+1)=C(n,k)+C(n,k+1). Plus généralement, il est connu que si l'alphabet a une structure d'anneau commutatif et que l'automate cellulaire est un morphisme d'anneaux - on parle alors d'automate cellulaire linéaire - une structure fractale va émerger de ses diagrammes espace-temps. Remplaçons maintenant l'anneau par un simple groupe - non, pas un groupe simple, un simple groupe abélien fini. J'expliquerai pourquoi, à mon sens, c'est dans ce cas plus général qu'on devrait parler d'automate cellulaire linéaire, et non pas seulement dans le cas des anneaux comme on le fait habituellement ; et surtout, je tâcherai de faire comprendre pourquoi leurs diagrammes espace-temps ont aussi des propriétés fractales.
Given a set S_c= {(x,y)in R2: f(x,y) <= c} we show that any polynomial which is bounded on S_c is bounded also on S_d as long as there is no real bifurcation value of the complexification of f between the real numbers c and d. We will discuss this result and point out some of its consequences.