L'exposé comprendra trois parties : 1) Presentation du résultat de Mikhalkin (``Real Algebaric Curves, the Moment map and Amoebas'', Ann. of Math. (2) 151 (2000)) 2) Petit état de l'Art sur les déformations (lissifications) de germes de courbes planes réelles. 3) Déformations de Harnack : définition, existence, unicité du type topologique (travail en commun avec Pedro Gonzaléz Pérez) ; quelques considérations métriques (volume de l'Amibe, taille des ovales..)
Nous chercherons à comprendre la preuve de forte normalisation du lambda calcul simplement typé (et de certaines extensions : système T de Godel, ajout d'un produit, ...) faite par Gandy. Il semble que cette preuve utilise une mesure (entière ?) qui décroit par réduction.
On fera le point sur les travaux récents, concernant l'équation de Boltzmann dans le cas homogène et avec des noyaux singuliers. On s'intéressera en particulier au problème de la régularité des solutions.
Attention: l'exposé aura lieu dans l'amphithéâtre Nivolet
Les représentations graphiques des preuves de la logique linéaire, les proof-nets, permettent de s'abstraire de contraintes inhérentes au calcul des séquents comme la syntaxe et les règles structurelles. La correction (ou prouvabilité) de tels réseaux peut se vérifier à l'aide de critères purement graphiques, comme le critère de Danos-Regnier. Sa simplicité en fait le rend très efficace mais peu compréhensible. Pour donner une preuve de complétude d'un tel critère et tenter de l'expliquer, nous utiliserons une logique différente : MILL. Dans ce système intuitionniste, les règles logiques sont des règles de typage d'un lambda-calcul et les réseaux de preuves ses arbres de syntaxe. Le critère de Danos-Regnier nous permettra de construire un lambda-terme typable à partir du réseau de preuve, assurant ainsi sa validité.
Les matériaux ferromagnétiques sont des aimants permanents. Ce type d'objets intervient dans de nombreuses applications (des télécommunications à l'enregistrement magnétique). Pour modéliser leur comportement, on utilise la théorie du micromagnétisme introduite par W.-F. Brown dans les années 60. Dans cet exposé, nous présenterons des résultats théoriques sur les propriétés des solutions des modèles du micromagnétisme ainsi qu'une chaîne de calcul permettant de comparer résultats expérimentaux et simulations numériques.
On sait bien qu'un polynome en une variable du type x^d+c avec c réel non nul possède au plus deux racines réelles non nulles alors qu'il possède d racines complexes. Plus généralement, la règle de Descartes implique qu' un polynome réel en une variable avec m+1 monomes distincts possède au plus 2m racines réelles non nulles. En particulier, si le degré d'un tel polynome est grand (par rapport à son nombre de monomes), seulement peu de ses racines complexes sont en fait réelles. En 1980 Askold Khovansky a montré qu'un tel phénomène n'était pas propre aux polynomes en une variable. Il a proposé une borne sur le nombre de solutions réelles (à coordonnées non nulles) d'un système de n équations polynomiales en n variables qui ne dépend que du nombre total de monomes distincts du système. Néanmoins, cette borne parait extremement large. Par exemple, lorsque le système est un système formé de 2 polynomes en 2 variables et avec au plus 5 monomes au total, le borne de Khovansky est 5184. Dans cette exposé, on présentera de nouvelles bornes fewnomiales obtenues très récemment avec Frank Sottile. Ces bornes améliorent considérablement celles de Khovansky. Dans notre exemple précédent, la nouvelle borne est 15. La preuve de ces nouvelles bornes est différente de celle de Khovansky (basée sur une induction sur le nombre de monomes). On se ramène à un autre système (système de Gale) en utilisant une base pour l'ensemble des relations sur les exposants du système initial. Puis, on majore le nombre de solutions réelles du nouveau système en utilisant un peu de géométrie différentielle, de la géométrie torique et de la combinatoire de polytopes.
Les pavages auto-assemblants sont un modèle de calcul introduit par Winfree en 2000 afin d'étudier les phénomènes d'auto-assemblage, naturels et artificiels. Je présenterai ce modèle de calcul, d'abord sa définition, puis deux constructions importantes en programmation, le passage paramètre <-> argument (théorème s-n-m) et la récursion, dont nous verrons qu'elles sont assorties de contraintes géométriques pas toujours triviales. Nous verrons ces deux notions appliquées dans des jeux de tuiles simples, l'un qui implémente les homothéties, et l'autre qui assemble le pavage de Robinson (un pavage quasi- périodiques). Nous examinerons aussi les limites du modèle, qui sont de deux sources, l'une géométrique, avec des problèmes de type dead-lock qui rappellent le parallélisme, l'autre rattachée à la complexité Turing. Si le temps le permet, je présenterai des idées de graphes de Cayley qui permettent de s'affranchir de ces limites.
Dans cet exposé, je parlerai des automates cellulaires vus comme des systèmes dynamiques et sous l'angle de propriétés topologiques classiques comme la (non-)sensibilité aux conditions initiales et l'expansivité. Je présenterai la classification de Kurka basée sur ces propriétés dans la topologie de Cantor et son interprétation en terme de circulation de l'information. Cette classification a le défaut de ne pas être invariante par décalage ce qui la rend artificielle pour les automates cellulaires. Le reste de l'exposé sera consacré à une approche récente pour résoudre ce problème : reprendre les différents modes de circulation de l'information de cette classification mais en les étendant à toutes les directions dans l'espace-temps. Cette dernière partie contiendra des résultats de M. Sablik mais aussi une petite collection de questions ouvertes.
Nous montrons qu'il existe un ensemble de Canotor $Csubset [0,1]$ tel que pour toute application semi-algébrique bornée $f:Uto R^k, ou $Usubset R^n$, l'image $f(Ucap C^n$ est de dimension entropique nulle. Donc en particulier $f(Ucap C^n$ est nulle part dense dans $R^k$, ceci donne la réponse positive à une question de C. Miller motivée par des extensions récentes (structures d-minimales) de la théorie de structures o-minimales. L'argument est basé sur la structure conique '' aiguë '' de $C^n$ et sur une inégalité du type de Lojasiewicz, qui permet de contrôler la norme de la différentielle de $f$ par l'inverse de la distance au bord.
J'exposerai mes idées pour une nouvelle sorte de théorème prouveur, basé sur les idées suivantes: - on crée le langage de programmation avec un système de typage statique fort le plus fort possible - on étend ce langage pour en faire une logique (on n'ajoute pas la logique au dessus du langage) Le but de ce séminaire sera de démarrer un éventuel groupe de travail ...
We begin to recall that usually parabolic equations kill too high perturbations present in initial datas. Then we study interactions with high frequency oscillations and very small viscosity, especially the critical case when the viscosity coefficient is the square of the oscillation wavelength.
Je presente dans mon exposé le système de type avec intersection de J. Wells qui permet de trouver le type principal d'un lambda-terme uniquement avec l'opération "substitution". Pour cela, il ajoute d'autres variables de type dites "variables d'expansion" et definit la substitution sur ces variables. Je vous présente ensuite une sémantique de réalisabilité pour ce système et un théorème de complétude pour un de ses sous systemes. Ce travail a été fait en collaboration avec F. Kamareddine et J. Wells.
Parmi les modèles de la concurrence et de la mobilité qui ont foisonné après la définition par Milner du Pi-Calcul, on rencontre deux familles très différentes: les modèles de la communication, qui prolongent directement le Pi-Calcul , et des modèles basés sur une notion spatiale de lieux ou de places, dont un exemple bien connu est les Ambients de Cardelli et Gordon. Les Bigraphes, proposés récemment par Milner, sont une tentative d'englober ces deux courants dans une structure unique. Nous proposons une introduction aux Bigraphes, basée sur le tutoriel que Milner a présenté à Paris en septembre dernier.
On s'intéresse à une équation de Boltzmann régissant l'évolution de particules interagissant suivant des collisions inélastiques. On établit des propriétés de stabilité des solutions, ainsi que de convergence vers certains profils asymptotiques. Pour cela on utilise des techniques liées au transport optimal de mesures.
Le lambda-calcul a deux modèles d'implantation principaux: les machines abstraites, utilisées pour l'appel par nom, par valeur, etc., et les réseaux d'interaction, utilisés pour la réduction optimale, les évaluateurs à la Mackie, etc. La nature très distribuée des réseaux d'interaction ne permet pas, en général, de décrire précisément la stratégie qu'ils implantent et ces deux modèles d'implantation semblent complètement déconnectés. J'établis une connexion entre ces deux mondes en proposant des traductions des stratégies habituelles du lambda-calcul dans les réseaux d'interaction. Ces traductions reposent sur l'idée très simple d'introduire un jeton d'évaluation qui séquentialise certaines réductions. Les stratégies traitées sont l'appel par nom, par valeur, par nécessité et la stratégie "fully lazy".
On étend le théorème du complémentaire de Gabrielov à certaines algèbres différentielles. Soit F une algèbre différentielle d'applications C infinies. On appelle semi-F les ensembles décrits par des égalités et inégalités portant sur des applications de F, et sous-F les projections des semi-F. On montre alors que si la structure engendrée par F est o-minimale et polynomialement bornée, alors les sous-F sont stables par passage au complémentaire.
Nous aborderons diverses méthodes de combinatoire des mots appliquées aux mots de Sturm. En particulier, nous démontrerons des théorèmes de base de la combinatoire des mots comme le lien entre complexité et périodicité, l'équivalence entre plusieurs définitions des mots de Sturm et enfin des résultats sur les graphes des mots (graphes de De Bruijn ou de Rauzy) et la dynamique de ces graphes pour les mots de Sturm.