On donnera une définition de structure réelle sur une variété tropicale projective, définition qui s'inspire de la méthode du patchwork de Viro. Dans le cas local on montrera qu'une structure réelle sur un éventail matroidal est équivalent à une orientation sur la matroide sous jacente. On generalisera ensuite le théorème du patchwork à ce cadre. C'est un travail en commun avec Kris Shaw et Johannes Rau.
W. Pawlucki a montré en 1990 que l'ensemble des points en lesquels un ensemble sous-analytique est semi-analytique est lui-même sous-analytique. Le but de cet exposé est d'expliquer cette phrase et de présenter une nouvelle stratégie de preuve de ce résultat. C'est un travail en commun avec André Belotto et Octave Curmi.
On propose une construction géométrique permettant de comprendre ensemble les fibres de Milnor topologique et motivique associées à une application régulière complexe. Cette construction passe soit par la géométrie logarithmique, soit par une version adaptée de la déformation (réelle orientée) sur le cône normal. Travail en collaboration avec J.B. Campesato et A. Parusinski.
In this seminar I will discuss the so called ``zonoid algebra'', a construction introduced in a recent work (joint with Breiding, Bürgisser and Mathis) which allows to put a ring structure on the set of zonoids (i.e. Hausdorff limits of Minkowski sums of segments). This framework gives a new perspective on classical objects in convex geometry, and it allows to introduce new functionals on zonoids, in particular generalizing the notion of mixed volume. Moreover this algebra plays the role of a probabilistic intersection ring for compact homogeneous spaces.
Let f ∈ Z[x_1,...,x_n] be a non-constant polynomial. Let p be a prime number and m be a positive integer. We associate to f, p, m the exponential sum Ef(p,m):=1/p^(mn) ∑_{x∊(Z/pmZ)n} exp(2πif(x)/p^m). Let σ be a positive real number. Suppose that for each prime number p, there is a positive constant c_p such that |Ef(p,m)|≤c_pp^{-mσ} for all m ≥ 2. Igusa's conjecture for exponential sums predicts that one can take c_p independent of p in the above inequality. This conjecture relates to the existence of a certain adèlic Poisson summation formula and the estimation of the major arcs in the Hardy-Littlewood circle method towards the Hasse principle of f. In this talk, I will recall Igusa's conjecture for exponential sums and discuss some new progress and open questions relating this conjecture to the singularities of the hypersurface de ned by f . This talk is based on recent joint work with Wim Veys and with Raf Cluckers
La géométrie tropicale est un outil puissant qui permet via l'utilisation d'un théorème de correspondance de ramener des problèmes énumératifs algébriques, par exemple compter le nombre de courbes d'un certain degré passant par un nombre de points convenables, à un problème combinatoire. Ces derniers sont plus simples à appréhender mais parfois compliqués à résoudre. De plus, le passage dans le monde tropical permet de définir de mystérieux invariants dits raffinés, obtenus en comptant les solutions d'un problème énumératif avec des multiplicités polynomiales. Dans cet exposé on s'intéressera à l'énumération de courbes et aux invariants raffinés dans les surfaces abéliennes et dans les fibrés en droites au dessus d'une courbe elliptique. Lien visio : https://zoom.us/j/95789309400?pwd=NzM0SlNBKzhEMi9qK3dUdHhNWlo4QT09
I'll describe some recent advances in the area of point-counting: that is, results establishing upper bounds on the number of algebraic points of given height and degree in a (usually transcendental) set. I'll explain how, following an idea of Schmidt, these results can be used to deduce lower bounds for the Galois degrees of special points in some arithmetic situations. After reviewing some more classical contexts, I'll discuss how this strategy is applied (in a joint work with Schmidt and Yafaev) to obtain Galois lower bounds for special points in general Shimura varieties (where the more classical abelian methods do not seem to apply) conditional on suitable height bounds. In particular, Andre-Oort is shown to follow from these conjectural height bounds. Very recently, Pila-Shankar-Tsimerman proved these height bounds, thus finishing the proof of general Andre-Oort.
One approch to understand the singularities of a set X (e.g. of an algebraic subset of ℂ^n) consists in finding a stratification of that set. If a point x ∈ X lies in a d-dimensional stratum, then intuitively, a neighbourhood of x is roughly translation invariant in d dimensions. After replacing ℂ by a suitable field extension K “containing infinitesimal elements” (e.g. K = ℂ((t))), we obtain a precise notion of x having an infinitesimal neighbourhood which is roughly translation invariant in d dimensions. This allows us to define a canonical stratification of X, and by looking at even smaller balls near x, associate some invariants to the singularity at x. I will explain how this works, and hopefully, I will find the time to show, as an example application, how from this, one can recover some information about Poincaré series. This is joint work (in progress) with David Bradley-Williams.
Soit X une variété algébrique affine complexe. La ``seminormalisation de X'' est une variété algébrique X^+ obtenue en recollant les points de la normalisation se trouvant au-dessus d’un même point de X. L'un des intérêts de la seminormalisation provient du fait qu’elle possède des singularités particulières tout en restant liée à X par un homéomorphisme fini et birationnel. Le résultat principal que nous présenterons est qu'il y a un isomorphisme entre l'anneau des fonctions polynomiales sur X^+(C) et l'anneau des fonctions rationnelles de X qui s'étendent par continuité euclidienne sur X(C). Nous donnerons quelques caractérisations de ce type de fonctions, parlerons de leur lien avec les fonctions régulues et enfin nous nous en servirons pour construire quelques exemples de seminormalisations.
If U is an open connected subset of R^n and f is a real-valued harmonic function on U, then what can be said about the structure on the real field generated by f? In this generality, the question is only heuristic; indeed, it is rather hopeless without some reasonable tameness conditions on the boundary of U (e.g., U=R^n). I will give a brief survey of what I know (which is far outweighed by what I do not know). There are connections to open problems in the associated analytic geometry.
In this talk, we will show that given a definable set X of IR^n with empty interior, there exists a definable bi-Lipschitz homeomorphism h from IR^n to IR^n such that h(X) has a finite set of regular projections (in the sense of Mostowski). A consequence of this result is that Parusinski's regular cover theorem holds for definable sets in an arbitrary o-minimal structure
Dans un article célèbre, Raynaud et Gruson ont développé une technique d'aplatissement par éclatements dans en géométrie algébrique (à la Grothendieck). Je commencerai par rappeler leurs résultats, puis expliquerai comment mettre en œuvre ce type de méthode dans le cadre des espaces de Berkovich, et les difficultés à surmonter. Je donnerai aussi quelques applications, et notamment une interprétation géométrique d'un résultat d'élimination des quantificateurs dans les corps valués algébriquement clos avec fonctions analytiques dû à Cluckers et Lipshitz.
In view of recent applications of o-mininality to number theory and algebraic geometry, it is natural to reflect on the possible definability of important functions such as Euler's Gamma function and Riemann's zeta function. While none of these two functions is definable in the classical structures mainly used in applications, we show that they are definable in a common o-minimal expansion of the real field. The construction of this new structure is based on an appropriate version of Borel-Laplace summation theory. Joint work with T. Servi and P. Speissegger.
The Euclidean distance degree (EDD) of a variety X in R^n measures the algebraic complexity of computing the point of X closest to a general point u in R^n. It is the number of critical points of the complexified distance function from u to X. Known formulas involve polar classes of the conormal variety to X or Chern classes of X. In this talk, I will discuss formulas of a different character, when X is a hypersurface whose defining equation is general given its Newton polytope. In this case, the EDD is shown to be the mixed volume of the critical point equations. This uses Bernstein's Other Theorem, which is of independent interest. We give an interesting closed formula for the EDD when the Newton polytope is a rectangular parallelepiped. This is joint work with Paul Breiding and James Woodcock.
Dans cet exposé je définirais une nouvelle notion de minimalité, la h-minimalité, pour les corps henséliens de caractéristique nulle qui généralise les autres notions de minimalité pour les corps valués (C, P, V…) et ne restreint pas, contrairement aux notions précédentes, les corps résiduels et groupes de valeurs possibles. Cette notion est définie, par analogie avec l’o-minimalité, par le fait que les ensembles définissables sont contrôlés par un nombre fini de points. Contrairement à l’o-minimalité, il faut porter une attention particulière aux paramètres de définition des ensembles définissables, ce qui nous amène à définir toute une famille de notions de h-minimalité. Dans un second temps, j’exposerai les conséquences de la h-minimalité, dont la propriété du jacobien qui joue un rôle central dans le développement de l’intégration motivique, mais aussi des variantes en degré et dimensions supérieures. (travail en commun avec R. Cluckers, I. Halupczok et F. Vermeulen)
Je présenterai la notion de sous-groupes convexe-cocompacts du groupe des isométries de l'espace hyperbolique. Ainsi, que plusieurs façons de généraliser cette notion à d'autres groupes. Le but de l'exposé sera d'expliquer pourquoi il n'est pas si simple que cela de trouver la bonne définition de ``sous-groupes convexe-cocompacts''. Une fois la bonne définition donnée et motivée, je présenterai la construction d'exemples de tels sous-groupes via des groupes de réflexions (Travail en commun avec Jeff Danciger, François Guéritaud, Fanny Kassel et Gye-Seon Lee). Les groupes de réflexions sont les images des groupes de Coxeter par des représentations introduites par Vinberg dans les années 60. Ces représentations permettent de faire agir les groupes de Coxeter sur des convexes de l'espace projectif réel. On caractérisera parmi ces représentations, lesquelles fournissent des sous-groupes fortement convexe-cocompacts.
Je présente un travail récent en commun avec A. Aizenbud, continuant le travail avec Halupczok, Loeser et Raibaut sur les distributions p-adiques et motiviques. J'explique notre réponse à une question posée par Drinfeld et Aizenbud. Celle-ci utilise la résolution de singularités, la théorie de modèles, l'intégration motivique (et p-adique, uniforme en p) et la transformation de Fourier. J'explique les questions ouvertes pour généraliser tout ceci vers un cadre motivique au lieu de p-adique.
Soit Omega inclus dans R^n, un ensemble de mesure finie tel que pour un rayon r (inférieur au diamètre), le volume de l'intersection de Omega avec toute boule de rayon r centrée en un point du bord est constant. Nous démontrons que Omega doit être une boule s'il est ouvert et connexe, ou s'il est mesurable de périmètre fini et indécomposable. Dans le cas le plus général, sous une hypothèse qui remplace la connexité/indécomposabilité, un ensemble mesurable satisfaisant cette propriété doit etre une réunion de boules identiques. La preuve est basée sur une réinterprétation de la méthode des hyperplans mobiles d'Alexandrov-Serrin dans le contexte d'ensembles mesurables. En effet, ce résultat peut-etre vu comme un théorème de rigidité à la Alexandrov pour des ensembles mesurables à courbure moyenne non locale constante. Travail en collaboration avec I. Fragalà (Milan).
Le groupe de Grothendieck des variétés est le quotient du groupe abélien libre sur les classes d'isomorphismes de variétés algébriques par des relations qui permettent de découper une variété en une sous-variété et son complémentaire. Il a également une structure d'anneau provenant du produit de variétés. De nombreux résultats de théorie des nombres ont des analogues, dits motiviques, qui peuvent être formulés dans cet anneau et qui sont de nature plus géométrique. Nous allons présenter un résultat obtenu en collaboration avec Sean Howe, qui est un analogue motivique d'un célèbre théorème de Poonen; il s'agit de comprendre la probabilité qu'un polynôme homogène à n variables satisfasse certaines conditions sur son développement de Taylor en tout point, lorsque le degré tend vers l'infini. Un outil essentiel est l'introduction d'une notion de produit eulérien motivique pour écrire la valeur de la probabilité limite.
It is well known that two generic quadric surfaces intersect in a nonsingular quartic space curve, but when the intersection is not transverse this intersection curve may degenerate to a finite number of different possible types of singular curves. In the nice paper by Farouki et al. (1989), the authors formulate a way of computing the condition for a degenerate intersection in this case, which refines in the real case and with an algorithmic point of view a classical treatise by Bromwich (1906). Independently, Schläfli (1953) studied the degenerate intersection of two hypersurfaces described by multilinear equations. In joint work with S. di Rocco and R. Morrison, we present a general framework of iterated sparse discriminants to characterize the singular intersection of hypersurfaces with a given monomial support A, which generalizes both previous situations. We study the connection of iterated discriminants with the notion of mixed discriminant and the singularities of the sparse discriminant associated to A.