Travail en commun avec J.P. Monnier et R. Quarez. La normalisation faible d'une variété algébrique complexe est une variété intermédiaire entre la variété et sa normalisation, qui est en bijection avec la variété de départ. On développe une notion analogue pour les variétés algébriques réelles en s'appuyant sur l'anneau des fonctions rationnelles continues.
à venir
Le problème d'apprentissage par renforcement (deep learning) des réseaux de neurones artificiels multicouches a suscité beaucoup d'intérêt ces derniers temps d'un point de vue mathématique et expérimental. La méthode de rétropropagation du gradient (backpropagation), peut être interprétée ici comme la solution numérique d'un système différentiel défini par le champs de gradient d'une fonction analytique réelle. Nous discutons des avantages et inconvénients de cette approche. Ensuite, grâce à l'extension de l'espace des configurations, nous serons amener à étudier un système différentiel nouveau, admettant des intégrales premières simples et une déformation dissipative qui possède un attracteur global. La discrétisation de ce nouveau système sur des exemples, montrent que nous parvenons à une méthode plus efficace pour l'apprentissage de certain types de réseaux, par rapport à la méthode de rétropropagation conventionnelle. A. Tsygvintsev, ``On the overfly algorithm in deep learning of neural networks'', Applied Mathematics and Computation 349 (2019) 348–358
J'expliquerai comment, suivant une idée remontant au moins à Bombieri et Pila, on peut trouver une courbe algébrique plane A qui contient tous les points rationnels (de hauteur bornée) d'une courbe plane transcendante X donnée. Si le temps le permet j'expliquerai comment on peut ensuite trouver des conditions sur f, quand X est le graphe de f, pour que l'intersection de A et de X soit un nombre de points polynomialement borné en le degré de A. --
Je vais présenter une borne pour le nombre de F_q[t]-points de degrés bornés dans une variété définie sur Z[t], uniforme en q. Cela généralise un résultat de Sedunova pour q fixé. La preuve repose sur des paramétrisations uniformes non-archimédiennes à la Yomdin-Gromov . Celles-ci généralisent les paramétrisations de Cluckers-Comte-Loeser. C’est un travail en commun avec Raf Cluckers et François Loeser.
Travail en collaboration avec Marta Agustín Vicente. L'objet de cet exposé est l'étude des nombres de Betti de la cohomologie d'intersection (rationnelle) des variétés algébriques complexes compactes dotées d'une action d'un tore algébrique dont les orbites générales sont de codimension un. De telles variétés admettent une description géométrique et combinatoire en termes d'éventails divisoriels (notion généralisant le passage d'un éventail de cones rationnels à une variété torique). Cette description encode la donnée d'un morphisme birationnel propre (le morphisme de contraction) dont le but est notre variété initiale et la source est une fibration torique au dessus d'une courbe algébrique lisse. En utilisant des travaux récents de de Cataldo, Migliorini et Mustata, et en étudiant le théorème de décomposition pour l'application de contraction, nous expliquerons comment on peut décrire les nombres de Betti de façon récursive en fonction de l'eventail divisoriel associé.
Les E-fonctions sont des séries entières à coefficients de Taylor algébriques à l'origine (vérifiant certaines conditions de croissance) et solutions d'équations différentielles linéaires à coefficients polynomiaux. Siegel les a introduites en 1929 dans le but de généraliser les propriétés diophantiennes de la fonction exponentielle, qui prend une valeur transcendante en n'importe quel point algébrique non-nul. La situation est plus compliquée en général car une E-fonction peut parfois prendre une valeur algébrique quand elle est évaluée en un point algébrique non-nul. Dans cet exposé, je commencerai par présenter plusieurs résultats diophantiens classiques sur les E-fonctions (Siegel-Shidlovskii, André, Beukers). Puis je présenterai un algorithme qui, étant donnée une E-fonction f(z) en entrée, produit la liste finie des nombres algébriques A tels que f(A) soit également algébrique. C'est un travail en commun avec Boris Adamczewski (CNRS et Université Lyon 1).
La dimension de l'espace des morphismes d'une courbe vers une variété rationnellement connexe augmente avec le degré. Dans certains cas, si on fait tendre ce degré vers l'infini certains invariants se stabilisent. Il est donc naturel de vouloir étudier de manière asymptotique cet espace de morphismes. On voit alors apparaître des principes d'équidistributions. Néanmoins, ces principes sont battus en brèche lorsque le morphisme est factorisable au travers de certains morphismes de variétés. Des invariants introduits par Manin dans un contexte arithmétique permettent de mieux comprendre ce phénomène.
Nous nous plaçons dans le contexte de la résolution à la Puiseux d’équations polynomiales en plusieurs variables. Notre objectif est de comprendre ce qui distingue une série de Puiseux multivariée algébrique (sur $K(x_1,....,x_r)$ le corps des fonctions rationnelles à r variables) d’une série de Puiseux formelle. Plus précisément, nous résolvons les problèmes suivants : - étant donnée une équation polynomiale $P(x_1,....,x_r,y)=0$, donner une formule pour les coefficients d’une série de Puiseux $y(x_1,....,x_r)$ solution en fonction des coefficients de l’équation ; - étant donnée une série de Puiseux algébrique, reconstruire à partir de ses coefficients un polynôme annulateur. Il s’agit d’une généralisation à plusieurs variables de notre travail sur les mêmes questions pour le cas monovarié. Travail en commun avec M. Hickel (Bordeaux).
L’inégalité de Smith-Thom borne la somme des nombres de Betti de la partie réelle d’une variété algébrique réelle par la somme des nombres de Betti de sa partie complexe. Dans cet exposé, nous expliquerons une preuve d’une conjecture d’Itenberg qui raffine cette borne pour une classe particulière d’hypersurfaces réelles projectives en termes de ses nombres de Hodge. Les hypersurfaces considérées proviennent de la construction du patchwork de Viro, qui est une méthode combinatoire puissante de construction d’hypersurfaces algébrique réelles. Pour démontrer la conjecture d’Itenberg, nous développons un analogue réel de l’homologie tropicale et, à l’aide d’une suite spectrale, nous la comparons à l’homologie tropicale définie par Itenberg, Katzarkov, Mikhalkin et Zharkov. L’homologie tropicale redonne les nombres de Hodge d’une variété projective complexe, et sa version réelle détermine les nombres de Betti de sa partie réelle. Comprendre plus en détail la suite spectrale apparaissant dans la preuve est une des clefs pour contrôler la topologie de l’hypersurface réelle provenant d’un patchwork.
Dans cet exposé nous nous intéressons au processus de rafle définie par un opérateur multivoque définissable dans une structure o-minimale. Nous établissons une inégalité de type KL adaptée au problème et nous l'utilisons pour montrer que les trajectoires bornées sont de longueur finie. Cette méthode permet d'obtenir le cas classique de la dynamique du gradient comme cas particulier, en onsidérant le processus de rafle correspondant aux sous-niveaux d'une fonction de classe C^1 o-minimale. Travail en collaboration avec D. Drusvyatskiy (Seattle).
Je parlerai des avancées récentes obtenues an collaboration avec Jérôme Poineau concernant la finitude dimensionnelle de la cohomologie de de Rham d'une équation différentielle sur une courbe p-adique. Cela est un problème profond et à la base de la théorie qui est resté ouvert pendant 50 ans.
Cette thèse porte sur des propriétés arithmétiques des fonctions méromorphes et transcendantes d'une variable. Nous définissons des mesures de transcendance pour les fonctions holomorphes ou méromorphes sur un domaine régulier du plan puis nous majorons ces mesures en fonction de la distribution des petites valeurs de la fonction étudiée. Grâce aux théories de Nevanlinna et d'Ahlfors, nous étudions la distribution des petites valeurs de certaines classes de fonctions méromorphes sur le disque ou le plan afin d'obtenir pour celles-ci des majorations explicites de leurs mesures de transcendance. L'application principale de ce travail est l'obtention de nouveaux lemmes de zéros polynomiaux pour de grandes familles de fonctions méromorphes et en particulier pour les fonctions elliptiques et les fonctions fuchsiennes. Ces lemmes de zéros polynomiaux conduisent à des bornes logarithmiques du nombre de points algébriques de degré et hauteur bornés contenus dans les graphes des fonctions étudiées.
J'expliquerai comment borner supérieurement la topologie d'un sous-complexe aléatoire dans un complexe simplicial, comment un empilement de simplexes disjoints permet d'améliorer ces bornes et comment un pavage permet d'obtenir de bons empilements. Il s'agit d'un travail en commun avec Nermin Salepci.
Durant ce séminaire nous présenterons le cadre général pour étudier des opérateurs agissant sur des systèmes périodiques discrets. Il s’agit des cristaux topologiques que nous perturberons ensuite de diverses manières. Les opérateurs de Schrödinger agissant sur ces structures seront alors étudiés du point de vue de la théorie spectrale et de la diffusion. A cette occasion, nous mettrons également en évidence des outils issus de l'analyse fonctionnelle qui sont certainement peu utilisés en géométrie (théorie de Mourre, construction d'un opérateur conjugué).
Que peut-on dire de deux variétés algébriques ayant la même classe dans l'anneau de Grothendieck des variétés? Un espoir (déçu) était de montrer qu'elles étaient isomorphes par morceaux. On montrera que c'est le cas dans le cadre des ensembles symétriques par arcs en géométrie algébrique réelle.
Generalized amoebas are images of algebraic varieties under multiplicative group homomorphisms. They connect toric geometry with real and tropical geometry. We will discuss the general framework, as well as applications to fewnomial systems.
Seade, Tibar et Verjovsky (Math. Annalen, 2005) ont défini l'obstruction d'Euler globale d'un ensemble algébrique affine complexe et ils ont donné une formule de multiplicité polaire pour cette obstruction. Dans cet exposé, on définit plusieurs généralisations de l'obstruction d'Euler globale et on donne plusieurs généralisations de la formule de multiplicité polaire. C'est un travail avec Nivaldo Grulha.
A lattice polytope is the convex hull in R^d of finitely many integer points. A lattice d-simplex is a lattice d-polytope whose vertices are affinely independent, and it is ``empty'' if its vertices are its only lattice points. Lattice polytopes have been widely studied for their relations to algebraic geometry and integer optimization, among other fields. For example, empty lattice simplices correspond to the so called terminal quotient singularities in the minimal model program of Mori for the birational classification of algebraic varieties. Their classification in dimension three (White, 1964) is sometimes dubbed the terminal lemma, and quite some effort has been devoted towards the classification of 4-dimensional ones. In particular, Mori, Morrison and Morrison (1988) conjectured a classification of the empty 4-dimensional simplices of prime volume into (I) a three-parameter family, (II) one two-parameter family, (III) 29 one-parameter families, and (IV) a finite list of exceptions of volumes up to 419. This classification was later proved by Bober (2009). For the non-prime case, Barile et al. (2011) claimed that the classification of Mori et al. extended without change (except for an increase in the number of exceptional simplices) but this statement was found to be false in Blanco et al. (2017+), where additional infinite families were found. In this talk we report on the complete classification of empty 4-simplices which includes, besides the families of Mori et al., a second two-parameter family and 23 additional one-parameter families. Our techniques combine methods from convex geometry (covering minima) with looking at the minimum dimension into which each empty-simplex projects without interior lattice points. This talk is based on joint work with Óscar Iglesias-Valiño (Universidad de Cantabria).