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It is known that every germ of an analytic set is homeomorphic to the germ of an algebraic set. We show that the homeomorphism can be chosen in such a way that the analytic and algebraic germs are tangent with any prescribed order of tangency. Moreover, the space of arcs contained in the algebraic germ approximates the space of arcs contained in the analytic one, in the sense that they are identical up to a prescribed truncation order. Joint work with K. Kurdyka, A. Parusinski and G. Rond.
L'équivalence arc-analytique est une relation d'équivalence sur les germes de fonctions Nash (i.e. analytiques réelles+semialgébriques) qui n'admet pas de module continu et qui peut être vue comme une version semialgébrique de l'équivalence blow-analytique de T.-C. Kuo. Dans cet exposé, je donnerai la classification complète des polynômes de Brieskorn--Pham pour l'équivalence arc-analytique. Cette dernière généralise les classifications obtenues par S. Koike et A. Parusiński dans le cas de deux variables et par G. Fichou dans le cas de trois variables. Ce résultat permet de mettre en exergue quelques différences avec d'autres classifications naturelles comme l'équivalence bi-Lipschitz. La preuve repose sur une version réelle des fonctions zêta motiviques de J. Denef et F. Loeser et sur des calculs explicites de polynômes de Poincaré virtuels (un analogue réel au polynôme de Hodge--Deligne, introduit par C. McCrory et A. Parusiński).
Il est connu depuis longtemps qu'une courbe tropicale dans R^2 de degré d est de genre au plus (d-1)(d-2)/2. J'expliquerai dans cet exposé comment construire une courbe tropicale plane de degré d et de genre quelconque. J'expliquerai en particulier comment résoudre la contradiction apparente de ces deux dernières phrases. Plus généralement, je donnerai des bornes sur les nombres de Betti des variétés tropicales de R^n, et si le temps le permet sur leurs nombres de Hodge tropicaux. Généralisant le cas des courbes, je montrerai qu'il n'existe pas de borne supérieure finie sur le nombre total de Betti d'une variété tropicale projective de degré d et de dimension m. Ceci est un travail en commun avec B. Bertrand et L Lopez de Medrano
Groupe de travail : << Fonctions Zêta, Théorie des Nombres, Géométrie >> Dyer’s outer automorphism of PGL(2,Z) induces an involution of the real line, which behaves very much like a kind of modular function. It has some striking properties: it preserves the set of quadratic irrationals sending them to each other in a non-trivial way and commutes with the Galois action on this set. It restricts to an highly non- trivial involution of the set unit of norm +1 of quadratic number fields. It conjugates the Gauss continued fraction map to the so-called Fibonacci map. It preserves harmonic pairs of numbers inducing a duality of Beatty partitions of the set of natural numbers. It induces a subtle symmetry of Lebesgue’s measure on the unit interval. On the other hand, it has jump discontinuities at rationals though its derivative exists almost everywhere and vanishes almost everywhere. In the talk, I plan to show how this involution acts on the quadratic irrationals.
Je vais présenter quelques nouvelles techniques pour résoudre les équations G(x,y)=0 où G(x,y)=G(x_1,...,x_n,y) est une fonction dans une classe quasi-analytique (par exemple, une classe Denjoy-Carleman quasi-analytique). Plusieurs questions importantes sur les fonctions quasi-analytiques, concernant la division, la factorisation, le lemme de préparation de Weierstrass, etc., entrent dans le cadre de ce problème. Aucune connaissance préliminaire sur les fonctions quasi-analytiques ne sera nécessaire. Je donnerai un bref panorama sur les fonctions quasi-analytiques, en mettant l’accent sur les différences avec les fonctions analytiques. Ensuite, je présenterai une technique de prolongement quasi-analytique (basée sur la résolution des singularités) et le résultat suivant (à partir d’un travail conjoint avec E. Bierstone et I. Biborski) : si G(x,y)=0 a une solution formelle y=H(x), alors H(x) est le développement de Taylor d’une solution quasi-analytique y=h(x), où h(x) a une certaine perte de régularité contrôlée par G.
En utilisant le travail de Guillén et Navarro Aznar sur les hyperrésolutions cubiques, Totaro a introduit un analogue de la filtration par le poids de Deligne sur l'homologie et la cohomologie des variétés algébriques réelles, fonctorielle, triviale sur les variétés lisses compactes, additive et compatible avec les résolutions des singularités. McCrory et Parusinski ont montré que la filtration par le poids réelle homologique et ses propriétés étaient induites par un complexe de chaînes filtré géométrique, appelé filtration géométrique. Un article avec Limoges montre également que le dual de ce dernier induit la filtration par le poids réelle cohomologique, et que ces filtrations géométriques induisent la compatibilité des filtrations par le poids réelles avec les produits usuels (cartésiens, cup, cap). Si l'on considère maintenant des variétés algébriques réelles munies de l'action d'un groupe fini, la fonctorialité des filtrations géométriques permet d'induire une filtration par le poids sur des homologie et cohomologie équivariantes, définies par van Hamel pour vérifier une dualité de Poincaré sur les variétés topologiques avec action. Des différences significatives apparaissent cependant entre les filtrations par le poids réelles équivariantes et non-équivariantes. Dans cet exposé, on verra comment la fonctorialité des complexes filtrés géométriques induit néanmoins la compatibilité des filtrations par le poids équivariantes réelles avec les produits cartésiens, cup et cap équivariants, ainsi qu'avec le morphisme de dualité de Poincaré équivariant.
Motivated by mirror symmetry, we study the counting of open curves in log Calabi-Yau surfaces. Although we start with a complex surface, the counting is achieved by applying methods from Berkovich geometry (non-archimedean analytic geometry). This gives rise to new geometric invariants inaccessible by classical methods. These invariants satisfy a list of very nice properties and can be computed explicitly. I will mention the conjectural wall-crossing formula, relations with the works of Gross-Hacking-Keel and applications towards mirror symmetry.
Groupe de travail : Fonctions Zêta, Théorie des Nombres, Géométrie
Afin d'étudier les propriétés arithmétiques d'une fonction entière, Coman et Poletsky ont introduit une notion de mesure de transcendance. Cette mesure joue un rôle similaire aux mesures de transcendances en approximation diophantienne. Par la suite ils ont obtenu une majoration de cette mesure de transcendance sous des conditions de distribution des petites valeurs de la fonction entière étudiée. J'expliquerai comment cette mesure de transcendance peut être étendue aux fonctions méromorphes sur le disque unité ou le plan. De façon analogue à la situation entière, il sera possible de majorer cette mesure sous des conditions de distribution des petites valeurs de la fonction méromorphe et des pôles de celle-ci. J'appliquerai ce résultat au cas des fonctions elliptiques et fuchsiennes. Enfin j'expliquerai le lien entre les lemmes de zéros et les mesures de transcendances de cet exposé.
Soit k un corps de caractéristique nulle et K=k((t)). Les ensembles semi-algébriques sur K sont des combinaisons booléennes d’ensembles algébriques et d’ensembles définis par des inégalités valuatives. Leur anneau de Grothendieck a été étudié par Hruskovski et Kazhdan qui le relient via l’intégration motivique au groupe de Grothendieck des variétés sur k. Je présenterai un morphisme de cet anneau vers le groupe de Grothendieck des motifs des variétés rigides analytiques sur K au sens d’Ayoub. Cela permet de raffiner la comparaison par Ayoub, Ivorra et Sebag entre fibre de Milnor motivique et foncteur cycle proche motivique d’Ayoub.
Considérons un lacet tracé dans l'ensemble des points réels d'une variété algébrique réelle. Peut-on l'approcher par le lieu réel d'une courbe algébrique incluse dans la variété ? Il s'agit d'une question classique en géométrie réelle. Dans cet exposé, nous expliquerons ce qui est connu, et présenterons de nouveaux résultats positifs et négatifs, obtenus en collaboration avec Olivier Wittenberg.
J'expliquerai ce qu'est un diviseur libre puis je donnerai une méthode de construction de tels diviseurs. Les arrangements de droites sont des diviseurs particulièrement étudiés du plan projectif. Nous donnerons quelques arguments prouvant la liberté de certains d'entre eux, puis nous établirons un lien avec les projections de variétés de Veronese dont les espaces tangents d'ordre supérieur n'ont pas la dimension attendue.
Les nombres de Hurwitz comptent le nombre de revêtements ramifiés, de degré d et de genre g, de la droite projective complexe avec des profils de ramification fixés aux points de branchements respectifs. On considère le problème de comptage des revêtements de genre nul, munis d'une structure réelle à partir de la conjugaison complexe, tels que tous les points de branchements soient réels. En imposant à un des points de branchement un profil de ramification particulier, on associe alors un signe à chaque revêtement à partir de la position des points de ramification. De manière analogue aux travaux d'Itenberg et Zvonkine sur les nombres de Hurwitz réels polynomiaux, on démontre que le nombre total de revêtements, comptés avec signe, ne dépend pas de l'ordre des points de branchement dans la droite réelle.
Nous discuterons des notions différentes du concept de linéarisation des systèmes non linéaires de contrôle : à l’aide de difféomorphismes dans l’espace d’état, par bouclage, par bouclage orbital et par precompensation dynamique. Pour les trois premières notions nous rappellerons des conditions géométriques nécessaires et suffisantes pour la linéarisation et donnerons des méthodes de construire les transformations linéarisantes. Ensuite, on se concentrera sur les systèmes linéarisables par bouclage dynamique, dits systèmes plats. Nous présenterons des plusieurs définitions équivalentes (en particulier, des relations avec la notion de l’équivalence absolue de Cartan) et discuterons des difficultés principales qui empêchent l’obtention des conditions nécessaire et suffisantes. Nous présenterons des solutions complètes dans des cas particuliers (distributions de contact ou les systèmes de poids différentiel minimal).
Soient f1,...,fp des polynômes quadratiques en n variables lacunaires (fewnomials) à coefficients dans un corps K, tels que le système f1 = ... = fp = 0 n'admette pas de solution sur la clôture algébrique de K. On s'intéresse dans cet exposé à une version effective du Nullstellensatz : sous quels conditions sur le support monomial de f1,...,fp existe-t-il probablement des polynômes g1,...,gp ``petits'' tels que f1g1 + ... + fpgp = 1 ? Nous montrerons que lorsque le nombre de carrés dans le support monomial excède n^(1/2+epsilon), que le support est tiré aléatoirement parmi ceux de cardinalité n+k+1 (pour une constante k fixée) et sous des hypothèses de généricité sur les coefficients, il existe des certificats (g1,...,gp) avec le même support monomial que (f1,...,fp) avec probabilité proche de 1, et que ceux-ci peuvent être calculés efficacement. Ce résultat et sa preuve sont fortement reliés à des propriétés combinatoires de graphes aléatoires dans le modèle d'Erdös-Renyi. Nous illustrerons ce résultat par des observations expérimentales et discuterons de ses liens avec le problème de la résolution de systèmes quadratiques lacunaires. Travail commun avec Jean-Charles Faugère et Jules Svartz
The monodromy groups of hypergeometric differential equations of type nFn-1 are often called hypergeometric groups. These are subgroups of GL_n . Recently, Arithmeticity and Thinness of these groups have caught a lot of attention. In the talk, a gentle introduction and recent progress to the theory of hypergeometric groups will be presented. In the same spirit, theory of Salem groups will also be introduced.
The blowing up of a monomial ideal in the affine space is non necessarily normal. It is covered by affine charts determined by certain semigroup algebras. We explain how one can generalize this example to define toric varieties without the normality assumption. Gonzalez-Sprinberg proved that the Semple-Nash modification on a toric variety is described by the blowing up of certain monomial ideal. We study some properties of this modification in terms of monomial valuations. This is a joint work with B. Teissier.