Motivé par l'étude de la théorie du corps des nombres complexes avec exponentielle, et remarquant que les fonctions définissables y sont, une fois C identifié à R^2, localement sous-analytiques, Wilkie entame une étude systématique des réduites de R_an engendrées par des fonctions holomorphes restreintes. Il propose la conjecture ci-dessous. Soit A une famille de fonctions holomorphes, et notons R_A| la structure (o-minimale) engendrée par les parties réelles et imaginaires des fonctions de A restreintes aux pavés relativement compacts de leurs domaines. Conjecture (Wilkie 08) : Les fonctions holomorphes localement définissables dans R_A| sont toutes obtenues à partir de A et des polynômes par composition, réflexion de Schwartz, dérivation partielle et prise de fonction implicite. On donnera trois contre-exemples à cette conjecture, qui chacun montre qu'une opération supplémentaire est nécessaire pour obtenir toutes les fonctions localement définissables : la division monomiale, la composition avec les racines n-iemes, et les effondrements. Si le temps le permet, on montrera aussi que ces trois opérations sont, en un certain sens, suffisantes.
A partir d'une formule de Gauss-Bonnet pour les germes d'ensembles sous-analytiques fermés, on obtient une caractérisation de l'obstruction d'Euler d'un germe d'ensemble analytique complexe en fonction des courbures de Lipschitz-Killing de sa partie régulière.
Kontsevich et Zagier ont conjecturé que si deux intégrales de fonctions rationnelles sur des domaines donnés par des inéquations de polynômes à coefficients rationnels ont la même valeur, on peut alors transformer l'une en l'autre en utilisant seulement quelques manipulations simples (comme des changements de variables). La même question se pose dans le cadre des intégrales p-adiques. Cette version là s'avère plus facile et nous prouvons l'énoncé p-adique avec Cluckers. Dans un travail en cours nous prouvons aussi l'énoncé analogue dans le cadre des intégrales motiviques. Dans cet exposé, je détaillerai les differentes versions de ces énoncés et j'expliquerai pourquoi la version p-adique est plus simple que la version réelle. Je ne présupposerai pas que l'intégration motivique soit connue.
We investigate continuous rational maps from a compact nonsingular real algebraic variety into unit spheres. In some cases we characterize continuous maps that (a) are homotopic to continuous rational maps, or (b) can be approximated by continuous rational maps. Of course, continuous maps that satisfy (b) also satisfy (a). It remains an open problem whether the converse always holds; we show that it does under certain reasonable assumptions.
Étant donné un polynôme f in Z[x], où x est un uplet de variables, on s'intéresse à déterminer le nombre de zéros dans l'anneau Z/mZ en fonction de m. En général, ceci est un problème difficile, mais Denef-Igusa-Meuser ont démontré que la série de Poincaré associée à f est une fonction rationelle. Ceci donne une relation (assez mystérieuse) entre les nombres de zéros dans Z/p^rZ quand p est un nombre premier fixé et r varie. Je vais donner une explication géométrique de ce résultat. L'ingrédient clé est l'existence de ``t-stratifications'' - stratifications qui, à priori, vivent dans des corps valués, mais qui induisent des stratifications de Whitney dans C et R. (En fait, les stratifications dans C et R induites par des t-stratifications sont même proche d'être des stratifications bilipschitz au sens de Mostowski.)
V. Kaloshin (2005) gave a method to Whitney stratify semi-algebraic sets. We correct his proof and give a more general result applying to definable sets in arbitrary o-minimal structures. (Work in collaboration with Nguyen Xuan Viet Nhan and Saurabh Trivedi.)
Une question aussi ancienne que la programmation linéaire consiste à trouver une règle de pivotage pour l’algorithme du simplexe conduisant à un nombre polynomial d’opérations. Une autre question consiste à trouver un algorithme résolvant en temps polynomial un jeu répété déterministe dont la valeur est définie comme un paiement moyen par unité de temps. Nous montrons que la convexité tropicale permet de relier ces deux questions: une règle de pivotage satisfaisant certaines conditions techniques permettrait de résoudre les jeux répétés. Nous exhiberons enfin un lien inattendu entre l’analogue tropical du chemin central et le chemin suivi par l’algorithme du simplexe tropical, conduisant à la construction d’exemples pathologiques de chemins centraux classiques dont la courbure totale est grande. Cet exposé présente des travaux récents avec Allamigeon, Benchimol, et Joswig, voir notamment arXiv:1308.0454, arXiv:1309.5925). Il s’appuie sur un travail avec Akian et Guterman (arXiv:0912.2462, IJAC 2012).
Given a set E in a complex space and a point p in E, there is a unique smallest complex-analytic germ containing the germ E_p, called the holomorphic closure of E at p. The variation of holomorphic closure along E may be regarded as a measure of how much the set E is 'twisted' from the point of view of the ambient complex structure. Of particular interest is the situation when E is real-analytic (or, more generally, semianalytic). In this talk, we will explain the relevance of holomorphic closure to the so-called CR geometry (a branch of modern complex analysis). We will also discuss the possibility of taming the holomorphic closure structure and its particularly nice behaviour on arc-symmetric semialgebraic sets.
Le but de cet exposé est de montrer que sous certaines hypothèses, pouvant être comparées à celles du théorème d'inversion locale, l'inverse d'une application analytique par arcs d'un ensemble algébrique réel dans lui-même est encore analytique par arcs. La première étape consiste à démontrer une version du lemme clé de Denef-Loeser pour la formule de changement de variables motivique qui satisfait nos conditions. Le reste de la preuve repose essentiellement sur le polynôme de Poincaré virtuel de McCrory-Parusinski et de Fichou.
I will explain how tropical geometry is applicable in estimations of minimal degree of a variety on which we impose conditions like passing through a number of points or lines with prescribed multiplicities.
Un mécanisme est un ensemble de tiges rigides reliées par des joints flexibles. Mathématiquement, il s'agit d'un graphe ``marqué'' : chaque arête possède une longueur fixée et certains sommets ont une position fixée, tandis que d'autres peuvent se déplacer. L'espace de configuration d'un mécanisme est l'ensemble de ses positions possibles. Cet espace est un ensemble algébrique et, le plus souvent, une variété lisse. La plupart des travaux existants considèrent des mécanismes dans le plan euclidien, même si des mécanismes dans d'autres cadres (sphère, plan hyperbolique) ont déjà été étudiés. En 2002, Millson et Kapovich ont montré que pour toute variété différentiable compacte M, il existe un mécanisme sur le plan euclidien dont l'espace de configuration est l'union disjointe d'un nombre fini de copies de M. C'est un résultat que Thurston avait présenté dans des cours, mais jamais publié. Nous verrons comment ce résultat se transpose dans le cadre de mécanismes sur le plan de Minkowski, c'est-à-dire le plan muni de la forme quadratique non définie dx^2 - dt^2 : dans cette situation, il s'étend même à certaines variétés non compactes.
Inauguration de la Fédération de Recherche en Mathématiques Rhône-Alpes-Auvergne, Lyon, Amphithéâtre ASTREE, 13, Campus scientifique de la Doua Vendredi 28 Février 2014, horaires à définir. Cédric Villani Des triangles, des gaz, des prix et des hommes'', Eric BlayoLes maths c'est bon pour la planète'', Laurent Chupin ``Equations au cœur de la roche''. Voir http://frmraa.math.cnrs.fr/
We will discuss a geometric proof of the theorem on Nash approximation of analytic maps into algebraic varieties. (Joint work with A. Parusinski.)
La règle de Descartes borne le nombre de racines positives d'un polynôme réel en une variable par le nombre de changements de signe consécutifs de ses coordonnées dans la base monomiale (ordonnée suivant les puissances croissantes). La borne obtenue est optimale et généraliser la règle de Descartes aux systèmes polynomiaux en plusieurs variables est un problème très difficile. Dans un travail avec Alicia Dickenstein (Université de Buenos Aires), nous avons obtenu la première généralisation de la règle de Descartes en plusieurs variables. Notre règle s'applique aux systèmes polynomiaux en un nombre arbitraire n de variables dont le support consiste en n+2 monômes quelconques et est également optimale. Elle borne le nombre de solutions positives d'un tel système par un nombre de changements de signe obtenus en considérant des mineurs maximaux de la matrice des coefficients ainsi que de celle des exposants du système.
L'objet de cet exposé est l'étude des variétés algébriques affines normales munies d'une opération d'un tore algébrique $T$. Le corps de base est supposé arbitraire. Nous exposons une description combinatoire inspirée des travaux de Klaus Altmann et de Juergen Hausen de ces variétés lorsque l'opération de $T$ est de complexité un. Ensuite nous donnerons quelques résultats nouveaux les concernant.
Un polynôme non nul de degré d a au plus d racines complexes. Mais on sait, depuis les travaux de Descartes, que le nombre de monômes est lui aussi un paramètre limitant du nombre de racines réelles. Plus précisément, un polynôme avec t monômes a au plus 2t-1 racines réelles. Que se passe t'il maintenant si l'on considère les solutions d'un système de polynômes? Dans, le cas complexe, le théorème de Bézout permet de borner leur nombre par le produit des degrés. Mais dans le cas réel, existerait-il une borne supérieure ne dépendant que des nombres de monômes? Et dans ce cas, quelle est cette borne? Le problème de l'existence a été résolue par Khovanskií, mais la question de son ordre de grandeur reste grandement ouverte. Un cas particulier connu comme le problème de Sevostyanov est celui d'un système composé d'un polynôme de degré d et d'un polynôme t-creux. Nous présenterons dans cet exposé, une borne polynomiale en t et en d pour ce problème..
En 1948 H.S. Wall a publié ses résultats sur la théorie analytique des fractions continues. Dans la première partie de cet exposé nous décrivons cette classe remarquable de fractions continues appelées g-fractions. Nous montrerons comment elles peuvent être utilisées pour approcher certaines applications analytiques bornées réelles. La deuxième partie sera consacrée aux divers applications. Nous discuterons la conjecture de Ramanujan, la théorie de renormalisation des applications unimodales, ABC-flow et le problème de n-centres de la Mécanique Céleste
Le calcul de l'infimum global $f^star$ d'un polynôme à $n$ variables sous contraintes est une question centrale qui apparaît dans de nombreux domaines des sciences de l'ingénieur. Pour certaines applications, il est important d'obtenir des résultats fiables. De nombreuses techniques ont été développées dans le cas où les contraintes sont données par des inéquations polynomiales. Dans cet exposé, on se concentre sur le problème d'optimisation d'un polynôme à $n$ variables sous des contraintes définies par des équations polynomiales à $n$ variables. Le but est d'obtenir des outils, algorithmes et implémentations efficaces et fiables pour résoudre ces problèmes d'optimisation. La stratégie est de ramener le problème d'optimisation sous des contraintes qui définissent des ensembles algébriques de dimension quelconque à un problème équivalent, sous des nouvelles contraintes dont on maîtrise la dimension. La variété algébrique définie par ces nouvelles contraintes est l'union du lieu critique du polynôme objectif et d'un ensemble algébrique de dimension au plus $1$. Pour cela, on utilise des objets géométriques définis comme lieux critiques de projections linéaires. Grâce au bon contrôle de la dimension, on prouve l'existence de certificats pour des bornes inférieures sur $f^star$ sur nos nouvelles variétés. Ces certificats sont donnés par des sommes de carrés et on ne suppose pas que $f^star$ est atteint. De même, on utilise les propriétés de nos objets géométriques pour concevoir un algorithme exact pour le calcul de $f^star$. S'il existe, l'algorithme renvoie aussi un minimiseur. Pour un problème avec $s$ contraintes et des polynômes de degrés au plus $D$, la complexité est essentiellement cubique en $(sD)^n$ et linéaire en la complexité d'évaluation des entrées. L'implantation, disponible sous forme de bibliothèque Maple, reflète cette complexité. Elle a permis de résoudre des problèmes inatteignables par les autres algorithmes exacts.