La fonction zêta Z_f(T) d'un polynôme complexe f est une fonction génératrice qui encode certaines propriétés arithmétiques de f. Elle est principalement étudiée pour son rôle central dans la conjecture de monodromie, qui prédit un lien précis entre ses pôles et des propriétés topologiques de f. Une formule classique permet de déterminer un ensemble de candidats pôles à partir d'une résolution des singularités de lieu d'annulation de f, mais cet ensemble introduit malheureusement beaucoup de faux pôles. Nous montrons comment le concept de log lissité, issu de la géométrie logarithmique, permet de travailler sur des résolutions des singularités partielles et ainsi d'obtenir un ensemble réduit de candidats pôles pour Z_f(T). Ce résultat ouvre des perspectives quant à la résolution de la conjecture de monodromie.
Sparse elimination theory is a framework developed during the last decades to exploit monomial structures in systems of Laurent polynomials by computing in semigroup algebras. We present an analog of Gröbner bases for semigroup algebras, and we propose variants of the algorithms F5 and FGLM to compute them. These objects provide algorithmic tools to compute efficiently the solutions of sparse systems of equations when all the polynomials share the same monomial support (unmixed case). When these monomials correspond to the points with integer coordinates in a normal lattice polytope and under regularity assumptions, we prove complexity bounds which depend on the combinatorial properties of this polytope. Our prototype ``proof-of-concept'' implementation shows large speed-ups (more than 100 for some examples) compared to classical Gröbner bases software. Joint work with Jean-Charles Faugère and Jules Svartz.
Sur une variété algébrique définie sur les rationnels et dont les points rationnels sont denses pour la topologie de Zariski, il est naturel de mesurer la complexité des solutions à l'aide d'une hauteur et de regarder la distribution asymptotique des points de hauteurs bornée sur la variété. Des travaux initiés par Manin il y a une vingtaine d'années permettent de lier cette distribution à la géométrie de la variété. Le but de l'exposé est de présenter divers exemples illustrant les phénomènes rencontrés et les interprétations qu'on peut espérer en tirer.
Le théorème de Puiseux classique dit que les solutions y=g(x) d'une équation analytique réelle f(x,y)=0 au voisinage de l'origine, sont des séries de Puiseux convergentes. Le but de mon exposé sera d'étendre ce résultat, et ses versions en plusieurs variables, à la classe des séries généralisées convergentes. Une série généralisée (en plusieurs variables) est une série de puissances à exposants réels positifs dont le support est contenu dans un produit cartésien de sous-ensembles bien ordonnés de la droite réelle. Soit A la collection de toutes les séries généralisées convergentes. Je vais montrer que si f(x_1,...,x_n,y) est dans A, alors les solutions y=g(x_1,...,x_n) de l'équation f=0 peuvent être exprimées par morceaux comme des compositions finies de quotients de fonctions de A. Ce résultat s'étend à des classes de fonctions définissables dans des expansions o-minimales polynomialement bornées du corps réel, telles les classes quasianalytiques de Denjoy-Carleman, les séries Gevrey multi-sommables et une classe qui contient certaines applications de transition de Dulac associées à des champs de vecteurs analytiques du plan.
Travail en commun et en cours avec M. Hickel. Nous essayons de comprendre ce qui distingue une série de Puiseux algébrique (sur K(x) le corps des fonctions rationnelles à 1 variable en caractéristique nulle) d'une série de Puiseux formelle. Plus précisément, nous nous intéressons - et répondons en partie - aux questions suivantes : - étant donnée une équation polynomiale P(x,y)=0, quelle expression pour les coefficients d'une série de Puiseux y(x) solution en fonction des coefficients de l'équation ? - étant donnée une série de Puiseux algébrique, peut-on reconstruire un polynôme annulateur, éventuellement minimal ? comment ? Il existe une littérature variée sur ce thème, que j'essaierai de rapporter, avant d'aborder nos contributions.
In this talk I will focus on the problem of understanding the topology of an intersection X of real quadrics. I will introduce a new notion of geometric complexity (inspired to fewnomials and related), using the discriminant in the space of quadratic forms. I will discuss a sort of duality'' between X and the set of singular quadrics in the linear system defining it; in the case of intersections of three quadrics this picture offers adual'' point of view on Hilbert's Sixteenth Problem.
Motivé par l'étude de la théorie du corps des nombres complexes avec exponentielle, et remarquant que les fonctions définissables y sont, une fois C identifié à R^2, localement sous-analytiques, Wilkie entame une étude systématique des réduites de R_an engendrées par des fonctions holomorphes restreintes. Il propose la conjecture ci-dessous. Soit A une famille de fonctions holomorphes, et notons R_A| la structure (o-minimale) engendrée par les parties réelles et imaginaires des fonctions de A restreintes aux pavés relativement compacts de leurs domaines. Conjecture (Wilkie 08) : Les fonctions holomorphes localement définissables dans R_A| sont toutes obtenues à partir de A et des polynômes par composition, réflexion de Schwartz, dérivation partielle et prise de fonction implicite. On donnera trois contre-exemples à cette conjecture, qui chacun montre qu'une opération supplémentaire est nécessaire pour obtenir toutes les fonctions localement définissables : la division monomiale, la composition avec les racines n-iemes, et les effondrements. Si le temps le permet, on montrera aussi que ces trois opérations sont, en un certain sens, suffisantes.
A partir d'une formule de Gauss-Bonnet pour les germes d'ensembles sous-analytiques fermés, on obtient une caractérisation de l'obstruction d'Euler d'un germe d'ensemble analytique complexe en fonction des courbures de Lipschitz-Killing de sa partie régulière.
Kontsevich et Zagier ont conjecturé que si deux intégrales de fonctions rationnelles sur des domaines donnés par des inéquations de polynômes à coefficients rationnels ont la même valeur, on peut alors transformer l'une en l'autre en utilisant seulement quelques manipulations simples (comme des changements de variables). La même question se pose dans le cadre des intégrales p-adiques. Cette version là s'avère plus facile et nous prouvons l'énoncé p-adique avec Cluckers. Dans un travail en cours nous prouvons aussi l'énoncé analogue dans le cadre des intégrales motiviques. Dans cet exposé, je détaillerai les differentes versions de ces énoncés et j'expliquerai pourquoi la version p-adique est plus simple que la version réelle. Je ne présupposerai pas que l'intégration motivique soit connue.
We investigate continuous rational maps from a compact nonsingular real algebraic variety into unit spheres. In some cases we characterize continuous maps that (a) are homotopic to continuous rational maps, or (b) can be approximated by continuous rational maps. Of course, continuous maps that satisfy (b) also satisfy (a). It remains an open problem whether the converse always holds; we show that it does under certain reasonable assumptions.
Étant donné un polynôme f in Z[x], où x est un uplet de variables, on s'intéresse à déterminer le nombre de zéros dans l'anneau Z/mZ en fonction de m. En général, ceci est un problème difficile, mais Denef-Igusa-Meuser ont démontré que la série de Poincaré associée à f est une fonction rationelle. Ceci donne une relation (assez mystérieuse) entre les nombres de zéros dans Z/p^rZ quand p est un nombre premier fixé et r varie. Je vais donner une explication géométrique de ce résultat. L'ingrédient clé est l'existence de ``t-stratifications'' - stratifications qui, à priori, vivent dans des corps valués, mais qui induisent des stratifications de Whitney dans C et R. (En fait, les stratifications dans C et R induites par des t-stratifications sont même proche d'être des stratifications bilipschitz au sens de Mostowski.)
V. Kaloshin (2005) gave a method to Whitney stratify semi-algebraic sets. We correct his proof and give a more general result applying to definable sets in arbitrary o-minimal structures. (Work in collaboration with Nguyen Xuan Viet Nhan and Saurabh Trivedi.)
Une question aussi ancienne que la programmation linéaire consiste à trouver une règle de pivotage pour l’algorithme du simplexe conduisant à un nombre polynomial d’opérations. Une autre question consiste à trouver un algorithme résolvant en temps polynomial un jeu répété déterministe dont la valeur est définie comme un paiement moyen par unité de temps. Nous montrons que la convexité tropicale permet de relier ces deux questions: une règle de pivotage satisfaisant certaines conditions techniques permettrait de résoudre les jeux répétés. Nous exhiberons enfin un lien inattendu entre l’analogue tropical du chemin central et le chemin suivi par l’algorithme du simplexe tropical, conduisant à la construction d’exemples pathologiques de chemins centraux classiques dont la courbure totale est grande. Cet exposé présente des travaux récents avec Allamigeon, Benchimol, et Joswig, voir notamment arXiv:1308.0454, arXiv:1309.5925). Il s’appuie sur un travail avec Akian et Guterman (arXiv:0912.2462, IJAC 2012).
Given a set E in a complex space and a point p in E, there is a unique smallest complex-analytic germ containing the germ E_p, called the holomorphic closure of E at p. The variation of holomorphic closure along E may be regarded as a measure of how much the set E is 'twisted' from the point of view of the ambient complex structure. Of particular interest is the situation when E is real-analytic (or, more generally, semianalytic). In this talk, we will explain the relevance of holomorphic closure to the so-called CR geometry (a branch of modern complex analysis). We will also discuss the possibility of taming the holomorphic closure structure and its particularly nice behaviour on arc-symmetric semialgebraic sets.
Le but de cet exposé est de montrer que sous certaines hypothèses, pouvant être comparées à celles du théorème d'inversion locale, l'inverse d'une application analytique par arcs d'un ensemble algébrique réel dans lui-même est encore analytique par arcs. La première étape consiste à démontrer une version du lemme clé de Denef-Loeser pour la formule de changement de variables motivique qui satisfait nos conditions. Le reste de la preuve repose essentiellement sur le polynôme de Poincaré virtuel de McCrory-Parusinski et de Fichou.
I will explain how tropical geometry is applicable in estimations of minimal degree of a variety on which we impose conditions like passing through a number of points or lines with prescribed multiplicities.
Un mécanisme est un ensemble de tiges rigides reliées par des joints flexibles. Mathématiquement, il s'agit d'un graphe ``marqué'' : chaque arête possède une longueur fixée et certains sommets ont une position fixée, tandis que d'autres peuvent se déplacer. L'espace de configuration d'un mécanisme est l'ensemble de ses positions possibles. Cet espace est un ensemble algébrique et, le plus souvent, une variété lisse. La plupart des travaux existants considèrent des mécanismes dans le plan euclidien, même si des mécanismes dans d'autres cadres (sphère, plan hyperbolique) ont déjà été étudiés. En 2002, Millson et Kapovich ont montré que pour toute variété différentiable compacte M, il existe un mécanisme sur le plan euclidien dont l'espace de configuration est l'union disjointe d'un nombre fini de copies de M. C'est un résultat que Thurston avait présenté dans des cours, mais jamais publié. Nous verrons comment ce résultat se transpose dans le cadre de mécanismes sur le plan de Minkowski, c'est-à-dire le plan muni de la forme quadratique non définie dx^2 - dt^2 : dans cette situation, il s'étend même à certaines variétés non compactes.