Inauguration de la Fédération de Recherche en Mathématiques Rhône-Alpes-Auvergne, Lyon, Amphithéâtre ASTREE, 13, Campus scientifique de la Doua Vendredi 28 Février 2014, horaires à définir. Cédric Villani Des triangles, des gaz, des prix et des hommes'', Eric BlayoLes maths c'est bon pour la planète'', Laurent Chupin ``Equations au cœur de la roche''. Voir http://frmraa.math.cnrs.fr/
We will discuss a geometric proof of the theorem on Nash approximation of analytic maps into algebraic varieties. (Joint work with A. Parusinski.)
La règle de Descartes borne le nombre de racines positives d'un polynôme réel en une variable par le nombre de changements de signe consécutifs de ses coordonnées dans la base monomiale (ordonnée suivant les puissances croissantes). La borne obtenue est optimale et généraliser la règle de Descartes aux systèmes polynomiaux en plusieurs variables est un problème très difficile. Dans un travail avec Alicia Dickenstein (Université de Buenos Aires), nous avons obtenu la première généralisation de la règle de Descartes en plusieurs variables. Notre règle s'applique aux systèmes polynomiaux en un nombre arbitraire n de variables dont le support consiste en n+2 monômes quelconques et est également optimale. Elle borne le nombre de solutions positives d'un tel système par un nombre de changements de signe obtenus en considérant des mineurs maximaux de la matrice des coefficients ainsi que de celle des exposants du système.
L'objet de cet exposé est l'étude des variétés algébriques affines normales munies d'une opération d'un tore algébrique $T$. Le corps de base est supposé arbitraire. Nous exposons une description combinatoire inspirée des travaux de Klaus Altmann et de Juergen Hausen de ces variétés lorsque l'opération de $T$ est de complexité un. Ensuite nous donnerons quelques résultats nouveaux les concernant.
Un polynôme non nul de degré d a au plus d racines complexes. Mais on sait, depuis les travaux de Descartes, que le nombre de monômes est lui aussi un paramètre limitant du nombre de racines réelles. Plus précisément, un polynôme avec t monômes a au plus 2t-1 racines réelles. Que se passe t'il maintenant si l'on considère les solutions d'un système de polynômes? Dans, le cas complexe, le théorème de Bézout permet de borner leur nombre par le produit des degrés. Mais dans le cas réel, existerait-il une borne supérieure ne dépendant que des nombres de monômes? Et dans ce cas, quelle est cette borne? Le problème de l'existence a été résolue par Khovanskií, mais la question de son ordre de grandeur reste grandement ouverte. Un cas particulier connu comme le problème de Sevostyanov est celui d'un système composé d'un polynôme de degré d et d'un polynôme t-creux. Nous présenterons dans cet exposé, une borne polynomiale en t et en d pour ce problème..
En 1948 H.S. Wall a publié ses résultats sur la théorie analytique des fractions continues. Dans la première partie de cet exposé nous décrivons cette classe remarquable de fractions continues appelées g-fractions. Nous montrerons comment elles peuvent être utilisées pour approcher certaines applications analytiques bornées réelles. La deuxième partie sera consacrée aux divers applications. Nous discuterons la conjecture de Ramanujan, la théorie de renormalisation des applications unimodales, ABC-flow et le problème de n-centres de la Mécanique Céleste
Le calcul de l'infimum global $f^star$ d'un polynôme à $n$ variables sous contraintes est une question centrale qui apparaît dans de nombreux domaines des sciences de l'ingénieur. Pour certaines applications, il est important d'obtenir des résultats fiables. De nombreuses techniques ont été développées dans le cas où les contraintes sont données par des inéquations polynomiales. Dans cet exposé, on se concentre sur le problème d'optimisation d'un polynôme à $n$ variables sous des contraintes définies par des équations polynomiales à $n$ variables. Le but est d'obtenir des outils, algorithmes et implémentations efficaces et fiables pour résoudre ces problèmes d'optimisation. La stratégie est de ramener le problème d'optimisation sous des contraintes qui définissent des ensembles algébriques de dimension quelconque à un problème équivalent, sous des nouvelles contraintes dont on maîtrise la dimension. La variété algébrique définie par ces nouvelles contraintes est l'union du lieu critique du polynôme objectif et d'un ensemble algébrique de dimension au plus $1$. Pour cela, on utilise des objets géométriques définis comme lieux critiques de projections linéaires. Grâce au bon contrôle de la dimension, on prouve l'existence de certificats pour des bornes inférieures sur $f^star$ sur nos nouvelles variétés. Ces certificats sont donnés par des sommes de carrés et on ne suppose pas que $f^star$ est atteint. De même, on utilise les propriétés de nos objets géométriques pour concevoir un algorithme exact pour le calcul de $f^star$. S'il existe, l'algorithme renvoie aussi un minimiseur. Pour un problème avec $s$ contraintes et des polynômes de degrés au plus $D$, la complexité est essentiellement cubique en $(sD)^n$ et linéaire en la complexité d'évaluation des entrées. L'implantation, disponible sous forme de bibliothèque Maple, reflète cette complexité. Elle a permis de résoudre des problèmes inatteignables par les autres algorithmes exacts.
Un ensemble fini de sous espaces affines de codimension un d'un espace vectoriel donné est un arrangement d'hyperplans. L'étude des arrangements est un sujet très classique, au carrefour de nombreux domaines des mathématiques comme la combinatoire, la topologie ou la géométrie algébrique. Voici une liste non exhaustive de questions très élémentaires qui sont à l'origine du sujet et qui motivent les travaux le concernant : - ``En combien de régions n droites peuvent diviser le plan ?'' (Roberts 1889, Arnol'd) - Quelles configurations droites/points sont réalisables ? - Combien de pentes sont définies par n points distincts ? (Ungar) - Le problème de Sylvester-Gallai (montrer qu'un ensemble fini de points plans ne possédant pas de bisécante stricte est aligné), - Est-ce qu'un arrangement est déterminé par sa combinatoire ? Je parlerai de la conjecture de Terao (1981 ou 1991) qui concerne plus particulièrement le dernier point (les autres points seront eux aussi abordés). Avec Daniele Faenzi (Univ. Pau) nous avons démontré cette conjecture sur le plan projectif réel ou complexe avec une hypothèse supplémentaire sur les points multiples de l'arrangement. Je présenterai les grandes lignes de notre preuve et surtout de notre approche, radicalement nouvelle par rapport aux approches classiques.
For a positive polynomial $fin mathbb{R}[x_1,ldots,x_n]$ we give necessary and sufficient conditions to existence of an exponent $Ninmathbb{N}$ such that $(1+|x|^2)^Nf(x)$ is a convex function, where $|x|^2={x_1^2+cdots+x_n^2}$. Next we show that if $finmathbb{R}[x_1,ldots,x_n]$ is strictly positive on a closed convex basic semialgebraic set $X={xinmathbb{R}^n:g_1(x)ge 0,ldots,g_r (x)ge 0}$, where $g_1,ldots,g_rinmathbb{R}[x_1,ldots,x_n]$ are concave polynomials, then $f$ can be approximated (in the $l_1$ norm) by polynomials of the quadratic module $Q(g_1,ldots,g_r)$. In the case $X=mathbb{R}^n$ the approximation is uniform on compact sets. Joint work with S. Spodzieja.
Les invariants de Welschinger sont un analogue réel des invariants de Gromov-Witten, et fournissent des bornes inferieures non triviales en géométrie énumérative réelle. Je rappelerai leur définition, puis expliquerai comment les calculer dans le cas des surfaces algebriques réelles rationnelles. Les méthodes principalement utilisées sont la théorie symplectique des champs, pour découper la variété ambiante en morceaux, et une version réelle des équations WDVV établie par Jake Solomon. Cet exposé porte sur deux travaux, l'un en collaboration avec Nicolas Puignau, l'autre en collaboration avec Jake Solomon.
Le discriminant réel est l'ensemble des polynômes homogènes à coefficients réels et pourvus d'au moins une singularité réelle. La norme de Bombieri permet de donner une formule explicite pour la distance au discriminant dont l'étude permet d'obtenir des résultats intéressants en particulier sur les hypersurfaces extrémales (maximum locaux pour la somme des nombres de betti). On définira par exemple la bande critique (la bande la plus large définie par { x in |R^n | ||x|| = 1 et |P(x)| < m} et ne contenant aucun point critique de P) et on montrera que cette bande a une largeur bornée par Pi/sqrt(d) où d est le degré de P lorsque le niveau 0 de P est extrémal. On en déduira une borne (pas très bonne) pour la plus petite valeur critique de P. On regardera le cas particulier de la dimension 0 (polynome homogène à deux variables) où l'on peut trouver une borne optimale de la plus petite valeur critique pour les polynomes de degré d à d racines.
Suite de l'exposé précédent
Si X est un champ de vecteur analytique de R^{n+1} au voisinage de 0 et admettant une série formelle invariante S(x)=(x,S_1(x),...,S_n(x)), on montre qu'il existe une courbe s:(0,epsilon)-> R^{n+1}, invariante pour X et admettant S comme développement asymptotique à l'origine. Il s'agit d'un travail commun avec T. Cano et F. Sanz.
(Exposé en deux parties : 04/10 et 11/10.) Dans ces exposés, on étudie l'existence de certains types de l'inégalité de Lojasiewicz sur des domaines non-compacts et de l'inégalité de Lojasiewicz globale pour les applications polynomiales de plusieurs variables. Partie II: on montre que si une application polynomiale est non-dégénérée au sens Mikhailov-Gindikin, l'inégalité de Lojasiewicz globale existe et les exposants peuvent être calculés.
(Exposé en deux parties : 04/10 et 11/10.) Dans ces exposés, on étudie l'existence de certains types de l'inégalité de Lojasiewicz sur des domaines non-compacts et de l'inégalité de Lojasiewicz globale pour les applications polynomiales de plusieurs variables. Partie I: on montre que sous certaines conditions de non-dégénérescence au sens de Khovanskii, l'inégalité de Lojasiewicz globale existe.
Le 17 ème problème de Hilbert (1900) est le suivant: est ce qu'un polynôme positif en plusieurs variables est une somme de carrés de fractions rationnelles ? La réponse positive d'Artin (1927) est basée sur le lemme de Zorn: tout corps réel (où -1 n'est pas une somme de carrés) peut être ordonné. Artin note déjà qu'une construction effective de la somme de carrés serait souhaitable mais semble difficile. La difficulté vient des dénominateurs: quelles sont les bornes sur leurs degrés ? Un travail de Kreisel (1957) donne des bornes primitive récursives, mais pas élémentairement récursives (i.e. majorés par une tour finie d'exponentielles) Notre travail (en progrès) donne une tour de cinq exponentielles dans le nombre des variables et le degré du polynôme. (Travail en commun avec Henri Lombardi et Daniel Perrucci.)
Given any complex Laurent polynomial f we give an efficiently constructible polyhedral approximation of the amoeba of f, i.e., the image of the complex zero set of f under the log absolute value map. We call our polyhedral approximation the Archimedean tropical variety. Our main result is an explicit upper bound (as a function of the sparsity of f) for the Hausdorff distance between these two sets. We thus obtain an Archimedean analogue of Kapranov's Non-Archimedean Amoeba Theorem, and a higher-dimensional extension of earlier estimates of Mikhalkin and Ostrowski. As applications, we obtain efficient approximations for the possible norms of complex roots of polynomial systems, and an alternative, arguably more geometric proof of a formula of Khovanski relating lattice points in polygons and curve genus.